Gammafunktion

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04.10.2012, 19:06

Monoid

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Gammafunktion

Hallo,

Wie schreibt man die Gammafunktion mit $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ ?

04.10.2012, 19:07

Mystic

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RE: Gammafunktion
$\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$

04.10.2012, 19:10

Kasen75

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Hallo Mathemathemathe,

ich würde sie so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\operatorname{d}t \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen.

Mit der Zusatzfrage bin ich weg. Wink

04.10.2012, 19:11

Monoid

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RE: Gammafunktion
Ok, hat sich geklärt.

Ich will $\begin{eqnarray*} \Gamma(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ berechnen.
Nun habe ich ja ein kompliziertes Integral, bei dem ich ohne vorige substitutio nicht sivoll partielle integration anwenden kann. Also substituiere ich $\begin{eqnarray*} u=t^{2} \end{eqnarray*}$ . dann kann ich sehr aufwendig mit partieller Integration das integral berechnen. Nur das Euler-poissonIntegral steht im Weg, was soll ich machen?

04.10.2012, 19:19

Equester

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@Mmm:

Solltest du Probleme mit Latexcodes haben, empfehle ich dir: http://detexify.kirelabs.org/classify.html
Die meisten Codes die du hier brauchst und dort findest, funktionieren hier auch.

smile

04.10.2012, 19:29

Mystic

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Zitat:

Original von Equester
@Mmm:

Solltest du Probleme mit Latexcodes haben[...]

Nein, hat er definitiv nicht: Immerhin kam schon wenige Minuten, nachdem ein LaTeX-Problem aufgetreten war, auch schon wieder die Entwarnung:

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ok, hat sich geklärt.

04.10.2012, 20:01

Gastt

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RE: Gammafunktion

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ich will $\begin{eqnarray*} \Gamma(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ berechnen ... was soll ich machen?

Für die Betafunktion

$\begin{eqnarray*} B(x,y):=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}~\dd t \end{eqnarray*}$

gilt:

$\begin{eqnarray*} B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \end{eqnarray*}$

Substituiere nun in obiger Integraldarstellung $\begin{eqnarray*} t=\sin^2(z) \end{eqnarray*}$ dann erhältst Du:

$\begin{eqnarray*} B(x,y)=2 \int_0^\frac{\pi}{2}(\sin(z))^{2x-1}(\cos(z))^{2y-1}~\dd z. \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} x=y=\frac 12 \end{eqnarray*}$ dann hast Du den gesuchten Funktionswert.

05.10.2012, 06:26

Monoid

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RE: Gammafunktion
Hallo,

@Gastt:
Danke für die tolle Antwort! Werde ich mir merken.

Aber was ist nun mit dem Euler-Poisson-Integral?

05.10.2012, 11:26

Gastt

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RE: Gammafunktion

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Aber was ist nun mit dem Euler-Poisson-Integral?

Na ja, der Integrand ist gerade. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}~\dd x = 2 \int_0^\infty e^{-x^2}~\dd x = 2\int_0^\infty \frac{1}{2}\ e^{-t} \ t^{-1/2}~\dd t = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right). \end{eqnarray*}$

05.10.2012, 11:41

Monoid

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RE: Gammafunktion
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi}=\Gamma(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ wieso?

05.10.2012, 12:37

ollie3

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RE: Gammafunktion
hallo,
weil $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ , und die
herleitung dafür findest du auf http://en.wikipedia.org/wiki/gaussian_integral .
gruss ollie3

05.10.2012, 12:47

Gastt

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RE: Gammafunktion

Zitat:

Original von Mathemathemathe
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi}=\Gamma(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ wieso?

Wegen

$\begin{eqnarray*} \left(\Gamma\left(\frac 12\right)\right)^2=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12\right)}{\Gamma(1)}=B\left(\frac 12,\frac 12\right)=2 \int_0^\frac{\pi}{2}(\sin(z))^0(\cos(z))^0~\dd z=\pi \end{eqnarray*}$

wie ich bereits erwähnte.

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