Herleitung Binomialkoeffizient

04.10.2012, 20:42	FL12	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Binomialkoeffizient Hallo zusammen, ich muss demnächst die Herleitung des Binomialkoeffizienten erklären können. Sprich die Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ inhaltlich erklären können. Dies klappt auch soweit, bis auf einen entscheidenden Schritt ... Meine Idee: Der Binomialkoeffizient gibt ja die Anzahl der Möglichkeiten an, k Objekte auf n Stufen zu verteilen. Achtet man auf die Reihenfolge habe ich ja für das 1. Objekt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Möglichkeiten 2. Objekt $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten ... k-te Objekt $\begin{eqnarray} n-(k-1) \end{eqnarray}$ Möglichekeiten. Diese Möglichkeiten multipliziere ich miteinander, da es ja egal ist, wo ich das erste Objekt anordne, ich für das zweite immer noch $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ weitere Möglichkeiten habe. Also habe ich insgesamt $\begin{eqnarray} n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1) \end{eqnarray}$ Möglichkeiten k Objekte auf n Stufen zu verteilen. Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht so ganz verstehe!! Beim Binomialkoeffzient achtet man aber nicht auf die Reihenfolge, deswegen muss ich ja wieder etwas "rückgängig" machen. Man kann k Objekte auf $\begin{eqnarray} k \cdot (k-1) \cdot...\cdot1 \end{eqnarray}$ Arten erhalten. Diese Fälle betrachtet man als einzige Auswahl. Daraus folgt $\begin{eqnarray} \frac{n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)}{k\cdot(k-1)\cdot...\cdot1} \end{eqnarray}$ . Könnt ihr mir diesen Schritt irgendwie besser erklären? So ganz einleuchtend ist er bei mir noch nicht ... Die weitere Umformung, um auf die obere Gleichung zu kommen, habe ich übrigens verstanden.
04.10.2012, 21:03	Stefan_TM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Binomialkoeffizient Hallo, es geht darum, in wie vielen Kleingruppen kann man die Elemente einer Gruppe verteilen, wobei die Reinfolge der Elemente in der Kleingruppe nicht zählt. Beispiel: In einer Gruppe von 5 Schüler(A,B,C,D,E) wie viele Kleingruppen von 3 Schüler kann man bilden ABC, ABD, ... u.s.w. (es werden 10 sein) Sollten wir die Reinfolge berüchsichtigen z.B. ABC, würden 3 Fakultät = 6* mehr sein Dann wären für ABC: ABC, ACB, BAC,BCA,CAB,CBA Hilft es so?
04.10.2012, 21:19	FL12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, an deinem Beispiel habe ich es verstanden. Aber wie kann ich das jetzt allgemein ausdrücken?? Vielleicht so: Da ich bei der Anordnung auf die Reihenfolge geachtet habe, habe ich viel mehr Arten als wenn ich nicht auf die Reihenfolge achte und zwar genau $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ -mal mehr, da ich k Objekte auf $\begin{eqnarray} k \cdot (k-1) \cdot ... \cdot1 \end{eqnarray}$ Arten erhalten kann. Klingt noch nicht so überzeugen :P
04.10.2012, 21:25	Stefan_TM	Auf diesen Beitrag antworten »
k Faktorial ist = Anzahl der Permutationen für k, es ist k=3, es sind 6, wie von den obigen Beispiel, für k=3 ist 123=6 Also, wenn du auf die Reinfolge in der Kleingruppe nicht achtest, wirst du 6* weniger Fällen haben, dafür k Faktorial im Nenner sorgt.

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