Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix

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05.10.2012, 00:03	Pizarro	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Meine Frage: Hallo . Ich komm bei folgendem Beispiel nicht weiter: Sei A eine symmetrische 2x2 Matrix mit dem Eigenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zum Eigenwert lambda1 = -5. Finde einen Eigenvektor zum anderen Eigenwert lambda2. Meine Ideen: Da symmetrische Matrizen eine orthogonale Basis von Eigenvektoren haben, kann ich den zweiten Eigenvektor bestimmen, indem ich einen orthogonalen Vektor zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ finde. Z.b. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Hab aber keine Ahnung wie ich nun den zweiten Eigenwert bestimmen kann Danke schonmal für die Hilfe
05.10.2012, 00:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Hallo, nach dem zweiten Eigenwert ist doch gar nicht gefragt. mfg, Ché Netzer
05.10.2012, 10:15	Pizar.ro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Habs bisschen unklug formuliert sry. Bei dem Beispiel ist sowhl nach Eigenvektor als auch nach Eigenwert gefragt
05.10.2012, 10:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Wie könnte denn $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ dann aussehen?
06.10.2012, 18:29	Pi.zarro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Nun also A + 5I ist die Matrix, deren homogenes Gleichungssystem als Lösungsmenge den gegebenen Eigenvektor hat. Würde meines Erachtens so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 + 5 & a_2 \\ a_2 & b_2 + 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Aber auch wenn ich mir die Matrix (A - lambda2 * I) * (3,2) = 0 aufstell und alles in einzelne Gleichungen aufsplitte hab ich doch eine Variable zuviel und ich kann den zweiten Eigenwert nicht eindeutig (also unabhhängig von den Werten der Matrix) bestimmen.
06.10.2012, 18:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Such dir zunächst irgendeine Matrix aus, in deren Kern $\begin{eqnarray} (3,2) \end{eqnarray}$ liegt. Das bzw. ein beliebiges Vielfaches davon ist dann $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} c(A+5I) \end{eqnarray}$ .
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07.10.2012, 00:04	Piza.rro	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Ich muss gestehen, das leuchtet mir nicht wirklich ein, Wenn ich mir z.B. die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ anschaue, in deren Kern liegt der Vektor (3,2). Aber warum kann ich jetzt schließen, dass ein Vielfaches davon die Matrix A + 5I ist? Diese Matrix ist ja nicht symmetrisch, also kann auch kein Vielfaches davon symmetrisch sein, was ja auf A + 5I zutrifft.
07.10.2012, 10:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Gute Frage Sagen wir lieber "zeilenweises Vielfache". $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ muss bzw. darf auch gar nicht symmetrisch sein, sondern nur $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ selbst. Wenn wir eine allgemeine Matrix haben wollen, in deren Kern $\begin{eqnarray} (3,2) \end{eqnarray}$ liegt, dann ist das $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-2a&3a\\-2b&3b\end{pmatrix}\,, \end{eqnarray}$ was wir aus zeilenweiser Betrachtung mit einer Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalten: $\begin{eqnarray} 3\alpha+2\beta=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3\gamma+2\delta=0\,. \end{eqnarray}$ Das ist $\begin{eqnarray} 3\alpha=-2\beta \end{eqnarray}$ , was zu obiger Matrix führt. Wir haben also $\begin{eqnarray} A+5I=\begin{pmatrix}-2a&3a\\-2b&3b\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du daraus auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zurückschließen; die Matrix soll ja symmetrisch sein.
07.10.2012, 15:37	Pizarr.o	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Hmm, aber A + 5I muss doch sehr wohl symmetrisch sein. Wenn A symmetrisch ist, dann gilt ja: A = At (transponiert) Wenn A symmetrisch ist und ich x mal die Identitätsmatrix dazuaddiere, veränder ich ja nur die Werte in der Hauptdiagonalen. Dann muss immer noch gelten: A = At Also könnte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2a & 3a \\ -2b & 3b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nur dann symmetrisch und somit Vielfaches von A + 5I sein, wenn 3a = -2b gilt. Also müsste die Matrix folgende Form haben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2a & 3a \\ 3a & -4.5a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da ja -2b = 3a gilt. Und folglich b = -(3/2)a. Dann hätte ich nur einen Parameter Außerdem ist mir nicht klar, warum eine Matrix, in deren Kern der Eigenvektor (3,2) liegt, zwangsweise ein zeilenweises Vielfaches von A + 5I sein muss, eine Matrix, in deren Kern der Eigenvektor (-2,3) hat und über die wir sonst eig. nichts wissen. Kann man nicht vielmehr folgern, dass eben dem nicht so sein kann. Es können ja nicht zwei orthogonale und daher linear unabhängige Vektoren im Kern derselben Matrix (oder einem Vielfachen davon) liegen.
07.10.2012, 15:46	Pizarr.o	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Hmm, aber A + 5I muss doch sehr wohl symmetrisch sein. Wenn A symmetrisch ist, dann gilt ja: A = At (transponiert) Wenn A symmetrisch ist und ich x mal die Identitätsmatrix dazuaddiere, veränder ich ja nur die Werte in der Hauptdiagonalen. Dann muss immer noch gelten: A = At Also könnte $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2a & 3a \\ -2b & 3b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nur dann symmetrisch und somit Vielfaches von A + 5I sein, wenn 3a = -2b gilt. Also müsste die Matrix folgende Form haben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2a & 3a \\ 3a & -4.5a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da ja -2b = 3a gilt. Und folglich b = -(3/2)a. Dann hät ich ja nur noch einen Parameter. Außerdem ist mir nicht klar, warum eine Matrix, in deren Kern der Eigenvektor (3,2) liegt, zwangsweise ein zeilenweises Vielfaches von A + 5I sein muss, eine Matrix, in deren Kern der Eigenvektor (-2,3) hat und über die wir sonst eig. nichts wissen. Kann man nicht vielmehr folgern, dass eben dem nicht so sein kann. Es können ja nicht zwei orthogonale und daher linear unabhängige Vektoren im Kern derselben Matrix (oder einem Vielfachen davon) liegen.
07.10.2012, 16:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel: Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Tut mir leid, da habe ich schon wieder etwas durcheinandergebracht... Ja, auch $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ muss symmetrisch sein. Dass die angegebene Matrix ein "zeilenweises Vielfaches" von $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ ist, stimmt aber schon. Das geht aus der zeilenweisen Betrachtung hervor. Wobei ich jetzt auch nicht mehr durchblicke, welchen Eigenvektor wir betrachten. Naja, allgemein: Ist $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , dann muss dieser Vektor ja im Kern von $\begin{eqnarray} A-\lambda I=:B \end{eqnarray}$ sein. Betrachten wir jetzt die Zeilen von $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}\,, \end{eqnarray}$ dann erhalten wir $\begin{eqnarray} \alpha a+\beta b=0 \end{eqnarray}$ , analog $\begin{eqnarray} \gamma a+\delta b=0 \end{eqnarray}$ . Daraus können wir jetzt bis auf Multiplikation der Zeilen mit Skalaren $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ bestimmen. Das ist jetzt eine allgemeine Form für $\begin{eqnarray} A+5I \end{eqnarray}$ , d.h. diese Matrix muss besagte Form haben: $\begin{eqnarray} A+5I=\begin{pmatrix}3a&2a\\3b&2b\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray}$ (der Eigenvektor war doch der falsche, laut Fragestellung) Und ja, jetzt spielt es keine Rolle, ob du erst die Symmetrie ausnutzt oder erst $\begin{eqnarray} 5I \end{eqnarray}$ abziehst. Dann erhältst du eine allgemeine Form für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du die Bedingung anwenden, dass es ein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ geben muss, für das $\begin{eqnarray} (3,2) \end{eqnarray}$ im Kern von $\begin{eqnarray} A-\lambda I \end{eqnarray}$ liegt. So, ich denke, diesmal sind keine dummen Fehler drin

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