Stetigkeit

05.10.2012, 09:30

nix

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Stetigkeit

Meine Frage:
Ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit überprüfen:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)={x^2sin({\frac{1}{x}}) +y^2 }\ falls\ x\neq 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x,y)=y^2\ falls\ x=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab jetzt den Ansatz dass f als Komposition stetiger Funktionen für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Bei der Untersuchung für die Stetigkeit wenn x=0 ist, habe ich mir überlegt zwei Folgen zu nehmen nämlich $\begin{eqnarray*} x_n=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} y_n=y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$

und habe dann folgende Abschätzung gemacht:
$\begin{eqnarray*} | f(x_n,y_n) | =| {x_n}^2 sin(\frac{1}{x_n})+{y_n}^2 | \leq | {x_n}^2*\frac{1}{x_n} +y_n | =| x_n+{y_n}^2 | =y^2 \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$

Ich habe hier benutzt dass der sinus kleiner gleich seinem Argument ist...aber ich denke dass diese Abschätzung nur funktioniert, wenn ich die Konvergenz gegen 0 zeigen will, nicht gegen y^2

Wie könnte ich anders vorgehen?

05.10.2012, 10:08

Monoid

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RE: Stetigkeit
Ah, du nimmst das Epsilon-Delta-Kriterium. Ein anderes Verfahren ( suchst du doch oder ? ) wäre:

f(x) heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ .

Meinst du mit "wie könnte ich anders vorgehen" ein anderes Verfahren ( siehe oben ) oder auch das Epsilon-Delta-Kriterium?

05.10.2012, 10:20

nix

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RE: Stetigkeit
Nein das epsilon-delta-Kriterium meine ich nicht...damit komme ich nicht klar.

05.10.2012, 10:21

Monoid

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RE: Stetigkeit
Dann versuch doch mal die ibige Definition am beispiel.

05.10.2012, 10:21

nix

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RE: Stetigkeit
Habe ich doch mit den genannten Folgen oben, oder nicht?

05.10.2012, 10:26

Monoid

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RE: Stetigkeit
Stetig in welchem punkt?

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05.10.2012, 10:33

nix

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RE: Stetigkeit
Ich muss doch die Stetigkeit in dem Punkt (0,y) untersuchen mit y beliebige reelle Zahl

05.10.2012, 10:39

Monoid

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RE: Stetigkeit
Dann berechne doch den Granzwert mal ohne abschätzen.

05.10.2012, 10:41

nix

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RE: Stetigkeit
Das geht doch nicht wegen dem sin(1/x)

05.10.2012, 10:47

Che Netzer

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RE: Stetigkeit
Zwei Stichworte:
Dreiecksungleichung
"beschränkte Folge mal Nullfolge"

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} x_n=0 \end{eqnarray*}$ ist übrigens falsch, das heißt $\begin{eqnarray*} x_n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Edit: Eigentlich betrachtet man auch nicht zwei Folge, sondern nur eine allgemeine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)\to(0,y) \end{eqnarray*}$ .

05.10.2012, 10:50

chris95

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Ich wuerde ausnutzen, dass

$\begin{eqnarray*} \sin x \le 1 \end{eqnarray*}$

Damit gehts glaub am schnellsten.

Ausserdem wuerd ich folgendes errechnen. Du musst aus dem y gar keine Folge basteln, da du hier keine Unstetigkeiten hast. Also einfach nur x_n als Folge betrachten.

Also:

$\begin{eqnarray*} | f(x_n,y) - f(0,y)| \end{eqnarray*}$

Das soll fuer n gegen Unendlich gegen Null konvergieren.

05.10.2012, 10:56

nix

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RE: Stetigkeit
Ok...das hatte ich als erstes gemacht...dann wende ich zunächst die Dreiecksungleichung an und erhalte dann $\begin{eqnarray*} | f(x_n,y_n) |\leq | {x_n}^2*sin(\frac{1}{x_n} ) | + | y_n | <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

und dann habe ich meine Nullfolge und beschränkte folge, die zusammen gegen 0 gehen für n gegen unendlich und erhalte dann mein y^2

ABER: Die Abschätzung ist doch im Prinzip das gleiche...ich frage mich weiterhin, ob diese Abschätzung mir nun wirklich sagt, dass die Funktion stetig in (0,y) ist....

05.10.2012, 10:58

nix

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RE: Stetigkeit
Ja ich mache es so...danke chris

05.10.2012, 11:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von chris95
Ausserdem wuerd ich folgendes errechnen. Du musst aus dem y gar keine Folge basteln, da du hier keine Unstetigkeiten hast. Also einfach nur x_n als Folge betrachten.

Wieso das denn?
In $\begin{eqnarray*} \frac y{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ hat man auch keine Unstetigkeit außerhalb der Null. Aber wenn man $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ festhält, um die Stetigkeit im Nullpunkt zu untersuchen, läuft das schief.

@nix:
So hilft dir das tatsächlich nichts.
Zeige lieber $\begin{eqnarray*} \lvert f(x_n,y_n)-f(0,y)\rvert\to0 \end{eqnarray*}$ .

05.10.2012, 11:20

nix

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Ich habe es jetzt noch auf partiele differenzierbarkeit in (0,y) untersucht und folgendes rausbekommen....stimmt das?

$\begin{eqnarray*} | \frac{df}{dx}(0,y) | \lim_{h \to 0} | \frac{f(h,y)-y^2}{h} | =\lim_{h \to 0} | h*sin(\frac{1}{h} |\leq \lim_{h \to 0} | h | =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} | \frac{df}{dy}(0,y) | \lim_{h \to 0} | \frac{f(0,y+h)-y^2}{h} | =\lim_{h \to 0} | \frac{{(y+h)^2}-y^2}{h} | =\lim_{h \to 0} | \frac{y^2+2yh+h^2-y^2}{h} | =\lim_{h \to 0} | 2y+h | =2y \end{eqnarray*}$

Ist die Funktion jetzt partiell diffbar oder nicht in (o,y)?

05.10.2012, 11:22

Che Netzer

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Das stimmt alles; nur die Betragsstriche haben da nichts zu suchen und die Abschätzung ist unnötig.

(Ansonsten fehlt jeweils ein Gleichheitszeichen und das Zeichen für die partielle Ableitung ist \partial)

05.10.2012, 11:39

nix

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aber die Funktion ist jetzt nicht partiell diffbar in dem Punkt, da die partiellen Ableitungen unterschiedlich sind, oder?

05.10.2012, 11:45

nix

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Ich glaube meine partielle Ableitung nach y stimmt doch nicht...da ja f für x=0 mit y^2 definiert ist....dann ist f(0,y+h) nämlich y^2 und nicht (y+h)^2...oder?

05.10.2012, 11:59

Che Netzer

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Gerade weil $\begin{eqnarray*} f(0,{\color{red}y}):={\color{red}y}^2 \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} f(0,{\color{red}y+h})=({\color{red}y+h})^2 \end{eqnarray*}$ .

Und wieso soll die Funktion nicht partiell differenzierbar sein, wenn die beiden Ableitungen unterschiedlich sind? Sie existieren doch beide.

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