[beweis] teilkörper eines körpers

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m2tothev Auf diesen Beitrag antworten »
[beweis] teilkörper eines körpers
Hallo matheboard community,

folgende Aufgabe lässt mich gerade etwas ins grübeln bringen:

Zeigen sie, dass die Zahlen

einen Teilkörper von bilden.

Da ich weis, dass die Zahlen , müsste ich doch nur durch Beweis der Körperaxiome zeigen, dass es sich um einen Körper handelt... Aber wie mache ich nun den Schritt auf Teilkörper? Wenn Körper sind und folgert sich, da Q echte Teilmenge von R, das ein Teilkörper von R bilden?

Sollte ich desbezüglich recht haben, wie kann ich nun die Axiome nachweisen?
Setze ich ?

Sollte ich total falsch liegen macht mich bitte darauf aufmerksam, ist mein erstes Semester, steh glaub noch etwas aufm Schlauch ^^

Freue mich schon auf eure Antworten :-) lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [beweis] teilkörper eines körpers
Das einzig interessante ist eigentlich das inverse, der Rest ist leicht zu zeigen, Sicherlich kann man Assoziativität, Distributivität und Kommutativität für beide Verknüpfungen nachweisen, aber diese vererben sich auch von IR. Die Existenz des neutralen der Addition und Multiplikation sind auch fast schon triviel, sind auch die aus IR, belibt also noch das Inverse.

Da kann man dann eine Vermutung anstellen, wie das Inverse ausschaut und zeigen, dass es dieses tatsächlich ist.

Wenn du (zu Übungszwechen) tatsächlich alle Axiome nachweisen möchtest, dann nimm dir drei Elemente aus und rechne einfach aus, also zum beispiel:





jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [beweis] teilkörper eines körpers
Zitat:
Original von lgrizu
Das einzig interessante ist eigentlich das inverse, der Rest ist leicht zu zeigen, Sicherlich kann man Assoziativität, Distributivität und Kommutativität für beide Verknüpfungen nachweisen, aber diese vererben sich auch von IR. Die Existenz des neutralen der Addition und Multiplikation sind auch fast schon triviel, sind auch die aus IR, belibt also noch das Inverse.


Wichtig und erwähnenswert wären noch die Abgeschlossenheit, die gerne mal übersehen wird: warum folgt sind Summe und Produkt von zwei Ausdrücken und wieder von dieser speziellen Gestalt. Bei der Summe ist es sehr klar, auch die Multiplikation ist kein großes Hindernis, aber erwähnen bzw. nachrechnen sollte man es definitiv. Augenzwinkern
m2tothev Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt mal das inverse ,für die multiplikation, versucht zu zeigen:






Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das zu wenig ist...

@lgrizu
Wie du ja meintest bräuchte ich fast nur das Inverse, ich kann nicht ganz nachvollziehen, was du damit meinst dass es sich von vererbt? Würde etwas von Q nach R vererbt werden würde ich es verstehn ^^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell ist das richtig,es fehlt zu zeigen, dass in deiner Menge liegt. Wenn nicht, ist die Rechnerei eh überflüssig....

Die Abgeschlossenheit hab ich tatsächlich vergessen......

In IR gilt doch Assoziativität, Distributivität und Kommutativität, also gelten sie auch in jeder Teilmenge davon, wenn die Verknüpfungen genau so wie auf IR definiert werden.

Andersherum muss das nicht so sein.....
m2tothev Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, das mit der vererbung hab ich geschnallt, hab mich da etwas verwirrt.

ok wenn ich jetzt noch zeigen will dass in der menge liegt, kann ich doch einfach die 3te binomische formel anwenden und vereinfachen:

dann kommt raus:



dann ist jeweils

und
wieder der form

 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Freude genau.

Also soweit alles in Ordnung.

Ansonstn ist das Nchprüfen der Körperaxiome reine Rechenarbeit, aber wie jester schon sagte, Abgeschlossenheit nicht vergessen
m2tothev Auf diesen Beitrag antworten »

Ok :-) vielen Dank

meinst du mit der Abgeschlossenheit, dass wenn ich definiere, dass dann der Körper durch die gezeigten Axiome abgeschlossen ist?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
[...] dass dann der Körper durch die gezeigten Axiome abgeschlossen ist?

was auch immer das heißen sollte. aber mit abgeschlossenheit einer menge unter einer verknüpfung meint man allgemein, dass das bild unter dieser verkn. wieder in der menge ist; also z.b. hier, dass, wenn m und n aus IM sind, dass dann auch m+n oder m*n wieder element von IM ist.
lg
m2tothev Auf diesen Beitrag antworten »

xD
ja ok, so ungefähr meinte ich das Big Laugh danke
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