Rangstatistik

05.10.2012, 14:24	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Rangstatistik Meine Frage: Hallo! Habe ich folgende drei Aussagen richtig verstanden: (i) Seien $\begin{eqnarray} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} X_i\sim F_i, i=1,\hdots,n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_i \end{eqnarray}$ stetig. Dann gilt $\begin{eqnarray} P(X_i=X_j)=0~\forall i\neq j \end{eqnarray}$ (Sprich: Bindungen realisieren sich mit Wahrscheinlichkeit 0.) (ii) Es gelten die Voraussetzungen aus (i), nur, dass $\begin{eqnarray} F_i=F~\forall~i=1,\hdots,n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ stetig (sprich: Die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ sind unabhängig identisch gemäß der stetigen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ verteilt). Dann gilt $\begin{eqnarray} P(R=\pi)=1/n! \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} R=r(X_1,\hdots,X_n) \end{eqnarray}$ den Rangvektor der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ sei und $\begin{eqnarray} \pi\in\Pi_n \end{eqnarray}$ eine Permutation im Raum $\begin{eqnarray} \Pi_n \end{eqnarray}$ aller Permutationen auf $\begin{eqnarray} \left\{1,\hdots,n\right\} \end{eqnarray}$ bezeichne. (iii) Im Fall (i) muss nicht gelten, dass $\begin{eqnarray} P(R=\pi)=1/n! \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also der Beweis zu (i) ist etwas länger und ich verzichte hier mal auf ihn. Der Beweis zu (ii) könnte m.E. so aussehen: $\begin{eqnarray} P(r(X_1,\hdots,X_n=\pi)=P(r(X_{\pi^{-1}(1)},\hdots,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,\hdots,n)) \end{eqnarray}$ Und weil $\begin{eqnarray} X_i\sim_{iid}F \end{eqnarray}$ kann man die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ auch genauso gut vertausschen, also $\begin{eqnarray} P(r(X_{\pi^{-1}(1)},\hdots,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,\hdots,n))=P(r(X_1,\hdots,X_n)=(1,2,\hdots,n))=1/n! \end{eqnarray}$ Zu (iii): Da würde ich so argumentieren, dass die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ hier halt nicht identisch verteilt sind und man daher am Ende des letzten Beweises i.A. nicht die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ tauschen kann. Die Warhscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray} P(r(X_{\pi^{-1}(1)},\hdots,X_{\pi^{-1}(n)})=(1,2,\hdots,n)) \end{eqnarray}$ muss nicht $\begin{eqnarray} 1/n! \end{eqnarray}$ sein, sondern kann abweichen. ________________________________________________________________________ Naja, nochmal zu (iii): Wenn die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ stetig und unabhängig, aber nicht identisch verteilt sind, kann es ja z.B. sein, dass manche Rangvektoren einfach nicht realisiert werden können bzw. mit Wahrscheinlichkeit 0. Wenn man z.B. 3 Zufallsvariablen hat, kann es ja sein, dass die zweite zum Beispiel so verteilt ist, dass $\begin{eqnarray} P(X_3\leq 5)=0 \end{eqnarray}$ . Wenn jetzt die anderen beiden Zufallsvariablen zum Beispiel so verteilt sind, dass $\begin{eqnarray} P(X_1>2)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_3>0)=0 \end{eqnarray}$ wird es ja zum Beispiel den Rangvektor $\begin{eqnarray} r(X_1,X_2,X_3)=(3,1,2) \end{eqnarray}$ nicht geben können, also $\begin{eqnarray} P(r(X_1,X_2,X_3)=(3,1,2))=0 \end{eqnarray}$ . Wenn die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ stetig, unabhängig und iidentisch verteilt wären, wäre jeder Rangvektor realisierbar, weil man ja einfach "tauschen" könnte. Habe ich das richtig verstanden? Edit: Besseres Beispiel zu (iii): $\begin{eqnarray} X_i\sim SG(i,i+1) \end{eqnarray}$ (stetige Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} [i,i+1) \end{eqnarray}$ ) edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

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