Lipschitzbedingung

05.10.2012, 14:25

slaight

Lipschitzbedingung

Meine Frage:
Zeigen Sie:
f(t,x):= log(x)
erfüllt auf jeder Menge vom Typ (t,x) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \times [\alpha ,\infty ),\alpha > 0 \end{eqnarray*}$ eine LipschitzBedingung bezüglich x, nicht aber auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times (0,\infty ) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
Für mich sind beide Mengen genau gleich und daher hätte ich erstmal abgeleitet nach x: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Und die Ableitung ist stetig und beschränkt auf jeder Teilmenge. Daher ist die Lipschitzbedingung erfüllt.
Wobei im ersterem Fall L = $\begin{eqnarray*} 1/\alpha \end{eqnarray*}$ wäre, falls
$\begin{eqnarray*} \alpha <= 1 \end{eqnarray*}$ , sonst L = 1
und für die zweite Menge wäre L = 1/0.00000000000000000001 oder so T_T.

05.10.2012, 15:19

Mazze

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Zitat:

Für mich sind beide Mengen genau gleich und daher hätte ich erstmal abgeleitet nach x: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Achso? Und wenn ich dir sage dass die Mächtigkeit der Differenzmenge

$\begin{eqnarray*} (0,\infty) - [\alpha,\infty) \end{eqnarray*}$

überabzählbar unendlich ist? Oder anders gesprochen, es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen in $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ die es nicht in $\begin{eqnarray*} [\alpha,0) \end{eqnarray*}$ gibt, für kein $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ . Wie kannst Du da behaupten dass die Mengen gleich sind ? Augenzwinkern

Ansonsten siehe hier

06.10.2012, 12:07

slaight

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Na klar, bei näherer Betrachtung sind das offensichtlich 2 verschiedene Intervalle!

Hm ich habe mir die Lösung gestern angeschaut und mich mal damit zufrieden gegeben, aber im Endeffekt bin ich mir nicht sicher.

Ich denke mal, die Begründung liegt darin, dass die Ableitung keine Schranke besitzen kann, da sie für 0 gegen unendlich strebt. Und von demher ist es nicht Lipschitzstetig.

Ist das so korrekt?

07.10.2012, 11:29

Mazze

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Prinzipiell ja, setze $\begin{eqnarray*} y = 1 \end{eqnarray*}$ und nimm an der Logarithmus wäre auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig, dann soll also

$\begin{eqnarray*} |\log(x)| \leq L|x - 1| \end{eqnarray*}$

sein für irgendeine Konstante L. Betrachte nun mal die Folge $\begin{eqnarray*} x_n = 10^{-n} \end{eqnarray*}$ , was stellst Du fest? Falls Du den Logarithmus zur Basis e nutzt, dann nimmst Du $\begin{eqnarray*} x_n = e^{-n} \end{eqnarray*}$ .

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