+-inf] Verständnisproblem

05.10.2012, 21:49

Lukster

Limit[Sin(x/1), x->+-inf] Verständnisproblem

Meine Frage:
Also irgendwie ist mir klar, dass bei x->inf y=0 werden MUSS, aber warum? Kann ich mir da den Sinus als eine Art multiplikative konstante vorstellen?!
Und ein weiteres Problem: $\begin{eqnarray*} D= \left\{ x \in \mathbb R | \left\{ 0\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ } muss ja sein, aber ist das eine Singularität oder Asymptote und wiederum: warum?

Danke, Lukas

Meine Ideen:
Siehe oben!

05.10.2012, 22:12

Dopap

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meinst du

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sin (\frac x 1) \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \sin (\frac 1 x) \end{eqnarray*}$ verwirrt

05.10.2012, 23:04

Lukster

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Sorry, natürlich letzteres!
LG, Lukas

06.10.2012, 15:53

Dopap

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ich denke, das Bild spricht für sich.

06.10.2012, 19:48

Dopap

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als Begründung würde ich $\begin{eqnarray*} u=\frac 1x \end{eqnarray*}$ substituieren mit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sin(\frac 1x )= \lim_{u \to 0}\sin (u) \end{eqnarray*}$ ,wobei $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty } \frac 1z = 0 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird.

08.10.2012, 08:38

Lukster

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Okay, danke!
D.h. an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist eine Lücke. Aber für alle x im Intervall $\begin{eqnarray*} \left(-1;1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ sieht die Funktion doch nicht so einfach aus wie im Forums-Plot, oder? Sie beginnt immer stärker zu oszillieren je mehr man sich der Lücke bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ nähert, oder irre ich?

08.10.2012, 08:51

Dopap

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Das ist richtig, im Plott ist das nur eine Frage der Vergrößerung und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \sin\left(\frac 1x\right) \end{eqnarray*}$ existiert nicht, aber was hat das mit deiner ursprünglichen Frage zu tun?

08.10.2012, 09:13

Lukster

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RE: Limit[Sin(x/1), x->+-inf] Verständnisproblem

Zitat:

Original von Lukster
Und ein weiteres Problem: $\begin{eqnarray*} D= \left\{ x \in \mathbb R | \left\{ 0\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ muss ja sein, aber ist das eine Singularität oder Asymptote und wiederum: warum?

Danke, Lukas

Hatte mit dem zweiten Teil zu tun, konnte mir die Funktion rund um die Definitionslücke und "Umgebung" einfach nicht richtig vorstellen. Und was dann weiter passiert.

Ich habe auf grund meiner Überlegungen ja gewusst, dass es eine Schwingung ist, die dann für größere x der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ entspricht. Nur warum sie "aufhört zu schwingen" war mir vorerst nicht klar, zumal der sin(x) ja oszillieren würde.

08.10.2012, 10:01

Dopap

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dasselbe bei der Ableitung: die hat eben auch eine grösste Nullstelle.

Nullstellen: $\begin{eqnarray*} x_E=\frac {2}{4\pi\cdot z \pm\pi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

die größte wird erreicht, wenn der Nenner im Positiven minimal ist. Und das ist eben bei $\begin{eqnarray*} x_{Emax}=\frac 2 {\pi} \approx 0.637 \end{eqnarray*}$ der Fall.

Was aber für das Verständnis gar nicht notwendig ist.
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Wir bleiben im Positiven.

Anschaulich so: $\begin{eqnarray*} \sin(u) \end{eqnarray*}$ oszilliert für $\begin{eqnarray*} u \to 0 \end{eqnarray*}$ "unterhalb" von $\begin{eqnarray*} {\color{red}\frac \pi 2} \end{eqnarray*}$ - der kleinsten Extremstelle - auch nicht mehr.

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac 1 x \end{eqnarray*}$ ist die grösste Extremstelle $\begin{eqnarray*} \color{red}\frac 2 {\pi} \end{eqnarray*}$ doch klar.

09.10.2012, 07:35

Lukster

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Zitat:

Original von Dopap
mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac 1 x \end{eqnarray*}$ ist die grösste Extremstelle $\begin{eqnarray*} \color{red}\frac 2 {\pi} \end{eqnarray*}$ doch klar.

Endlich hat's klick gemacht! Manchmal braucht es wirklich den Wink mit dem Zaunpfahl...

Somit alle Fragen geklärt!
Danke, Dopap! Freude

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