Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1)

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06.10.2012, 11:39	André2346587	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) Meine Frage: Hallo, Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{3k-2)(3k+1)} \end{eqnarray}$ Ich soll den Grenzwert bestimmen! Meine Ideen: Ich habe erstmal eine Partialbruchzerlegung gemacht $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{3k-2)(3k+1)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k-\frac{2}{3}}-\frac{1}{k+\frac{1}{3} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{3}{3k-2} -\frac{3}{3k+1} \end{eqnarray}$ wenn ich hier die Teleskopsumme bilde bekomme ich da raus $\begin{eqnarray} 3;-\frac{3}{4};+\frac{3}{4};-\frac{3}{7};+\frac{3}{7};... \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\sum\limits_{k=1}^\infty 3-\frac{3}{3k+1}=3 \end{eqnarray}$ und rauskommen soll 1/3, was beim einsetzen in die Anfangsgleichung auch logisch ist,rechnerisch erhalte ich aber 3.... Ich finde meinen Fehler einfach nicht Vielen Dank schonmal für Eure hilfe...
06.10.2012, 11:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) Ganz einfach: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} \neq \sum\limits_{k=1}^n \frac{3}{3k-2} -\frac{3}{3k+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{9}{(3k-2)(3k+1)} \end{eqnarray}$
06.10.2012, 12:07	freazer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) Hmmm...das heißt meine PBZ ist schon falsch?!
06.10.2012, 12:09	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) Ja
06.10.2012, 12:33	freazer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) Ok.vielen Dank Aber wo ist der Fehler?! Nullstellen sind doch: k=2/3 und k=-1/3 also gilt doch: $\begin{eqnarray} \frac{A}{k-\frac{2}{3} } ;\frac{B}{k+\frac{2}{3} }\Rightarrow <br /> \frac{A}{k-\frac{2}{3} }+\frac{B}{k+\frac{1}{3} }=\frac{1}{(k-\frac{2}{3})(k+\frac{1}{3} ) } \Rightarrow<br /> 1=A(k+\frac{1}{3})+B(k-\frac{2}{3})\Rightarrow 1=Ak+\frac{1}{3}A+Bk-\frac{2}{3}B \end{eqnarray}$ dann Koeffizentenvergleich da bekomme ich dann B=-1 und A=1 so komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{k-\frac{2}{3} }-\frac{1}{k+\frac{1}{3} }=\frac{1}{\frac{3k}{3}-\frac{2}{3} }-\frac{1}{\frac{3k}{3}+\frac{1}{3} } =\frac{3}{3k-2}-\frac{3}{3k+1} \end{eqnarray}$
06.10.2012, 12:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) Weils so schön war, noch einmal: $\begin{eqnarray} \frac 1{(3k-2)(3k+1)}\neq\frac{1}{(k-\frac{2}{3})(k+\frac{1}{3} ) }= \frac 9{(3k-2)(3k+1)} \end{eqnarray}$
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06.10.2012, 12:44	freazer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Folge 1/(3k-2)(3k+1) ja ok! Aber ist der komplette Ansatz meiner Pbz falsch oder ein Rechenfehler?!....
06.10.2012, 12:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist denn jetzt das Problem? Wenn Du das, was Du gerechnet hast, durch die bereits zweimal erwähnte 9 teilst, kommst Du doch genau auf die gewünschten $\begin{eqnarray} \frac 39 = \frac 13 \end{eqnarray}$
06.10.2012, 13:03	freazer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{(3K-2)(3k+1)} = \frac{1}{(k-\frac{2}{3})(k+\frac{1}{3}) } ausgerechnet<br /> \frac{1}{9K^{2}+3k-6k-2) }=\frac{1}{k^{2}+\frac{1}{3}k-\frac{2}{3}k-\frac{2}{9} }\Rightarrow \frac{1}{(k^{2}-\frac{1}{3}k-\frac{2}{9}) } = \frac{1}{(k^{2}-\frac{1}{3}k-\frac{2}{9}) } \Rightarrow 1=1 \end{eqnarray}$ oder rechne ich falsch?! mein Problem ist jetzt wo kommt die Neun im Zähler her?
06.10.2012, 13:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten beiden Gleichungen sind falsch. Danach hast Du im linken Bruch einfach die 9 im Nenner wegfallen lassen und bist durch diese falsche Umformung auf eine wahre Aussage gestossen. Ich weiss ehrlich gesagt nicht, was Du uns damit sagen willst. Vielleicht sollten wir ganz von vorne anfangen: Du willst den Bruch $\begin{eqnarray} \frac 1{(3k-2)(3k+1)} \end{eqnarray}$ in eine Summe von zwei Brüchen zerlegen. Die Nullstellen des Nenners sind bei $\begin{eqnarray} \frac 23 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\frac 13 \end{eqnarray}$ , soweit war es korrekt. Dann musst Du die folgende Gleichung lösen: $\begin{eqnarray} \frac 1{(3k-2)(3k+1)} = \frac A{k-\frac23} + \frac B{k-\frac13}=\frac {3A}{3k-2} + \frac {3B}{3k-1} \end{eqnarray}$
06.10.2012, 13:33	freazer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst Nullstellen 2/3 und - 1/3 richtig?! Dann bekomme ich auch das richtige raus! mit 1/3 * Summe... Super vielen vielen Dank das heißt für die Zukunft vor der Pbz Brüche auszumultiplizieren dann kommt es nicht zu Rechnenfehler....korrekt?!
06.10.2012, 14:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nirgends ausmultipliziert, nur mit 3 erweitert. Bei der Partialbruchzerlegung musst Du sehen, dass Du die Nullstellen und ihre Vielfachheit herausbekommst, was in der hier gegebenen Produktform ziemlich einfach ist. Danach ermittelst Du die zugehörigen Zähler (in meiner Gleichung das A und B), indem Du den Summenbruch ansetzt und zusammenfasst. Danach vergleichst Du die rechte und linke Seite, um die Variablen zu bestimmen.

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