Körper F2

06.10.2012, 16:01

Andy2357

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Körper F2

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hatte vor ein paar Tagen mit dem Körper F2 beschäftigt und es so wie es ist hingenommen. Im Moment frage ich mich, ob es dafür auch in der Natur Anwendungsfälle gibt, dass man diese Theorie 1+1=0 oder bei Fn (n-1)+(n-1) = 0 sinnvoll in der Praxis anwenden oder Natur beobachten kann.

smile

smile

Würde mich über eine Antwort freuen.

LG, Andy

Meine Ideen:
Vielleicht bei physikalischen oder chemischen Prozessen?

06.10.2012, 16:06

Monoid

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RE: Körper F2
Wenn du den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p} \end{eqnarray*}$ wobei p Primzahl? Dann ja, denn du kannst tausende Sachen, in der Geometrie anwenden, und für diese braucht man manchmal das Kenntnis von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p} \end{eqnarray*}$ .

Und in der Physik ja sowieso.

Ganz grob gesagt.

06.10.2012, 16:09

Mystic

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RE: Körper F2
Ja, wenn man z.B. einen typischen Lichtschalter zweimal betätigt (=1+1) so erhält man wieder den ursprünglichen Zustand (=0)... Zur Frage bezüglich Fn (n-1)+(n-1) = 0 kann ich leider gar nichts sagen, denn die versteh ich nicht... traurig

traurig

06.10.2012, 16:12

Che Netzer

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RE: Körper F2
Zu den Anwendungen kann ich (als reiner Theoretiker) nichts sagen, aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1)=0 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (n-1)+1=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1)=n-2 \end{eqnarray*}$ .

06.10.2012, 16:14

ollie3

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RE: Körper F2
hallo,
der fragesteller meinte wahrscheinlich bei Fn (n-1)+(n+1)=0 smile

smile

gruss ollie3

06.10.2012, 16:25

Mystic

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RE: Körper F2
Hm, weder gilt

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1)=n-2 \end{eqnarray*}$ .

noch gilt in Fn (was ist das überhaupt, bitte?)

Zitat:

Original von ollie3
(n-1)+(n+1)=0

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06.10.2012, 16:28

Che Netzer

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RE: Körper F2
Fn ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ , d.h. die ganzen Zahlen modulo $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soweit ich das verstanden habe.
Da sollten die beiden Gleichungen doch gelten verwirrt

verwirrt

06.10.2012, 16:42

Captain Kirk

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@Che Netzter: Das hast du leider vollkommen falsch verstanden.

Die ganzen Zahlen modulo n bilden nur dann einen Körper wenn n prim ist.
Ist n zusammengestzt, etwa n=ab so ist $\begin{eqnarray*} ab \equiv 0 \mod n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \neq 0 \mod n \end{eqnarray*}$ und in Körpern gibt es solche Nullteiler nicht.

Es gibt auch nur $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray*}$ , sprich endliche Körper haben Primzahlmächtigkeit.

06.10.2012, 16:45

Che Netzer

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Habe ich denn behauptet, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Primzahl sein soll oder dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ immer ein Körper ist?
Ich habe doch nur die Notation des Fragestellers verwendet. Und ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Primzahl, dürften die genannten Gleichungen doch trotzdem alle gelten.

06.10.2012, 19:47

Mystic

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RE: Körper F2
Hm, ist es nicht so, dass deine Gleichung

Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1)=n-2 \end{eqnarray*}$ .

dann und nur dann gilt, wenn n=0 ist, unabhängig davon, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_n \end{eqnarray*}$ ein Körper ist oder nicht, oder hab ich da was mißverstanden? verwirrt

verwirrt

06.10.2012, 20:29

Che Netzer

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RE: Körper F2
Auch wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist, dann ist doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1)\mod n=2n-2\mod n=n-2\mod n\,, \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} 2n=n(=0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ .
Bzw. $\begin{eqnarray*} n-1+n-1=0-1+n-1=n-2 \end{eqnarray*}$ .

Z.B. in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} 2+2=4=1 \end{eqnarray*}$ . Oder in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_10 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 9+9=18=8 \end{eqnarray*}$ .

Oder?

Edit: Anders gesagt: Ja, die gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ , was in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_m \end{eqnarray*}$ genau dann der Fall ist, wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

06.10.2012, 21:08

Captain Kirk

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@che netzer:
Nochmal zur Klarstellung die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \mathbb F_l \end{eqnarray*}$ wird nur für endliche Körper der Mächtigleit l verwendet. Warum $\begin{eqnarray*} \mathbb F \end{eqnarray*}$ ? Weil endliche Körper im Englischen auch Galois fields genannt waren, daher auch manchmal die Schreibweise GF(q). Anddere Leut behaupten es käme aus dem Franzosischen von corpse fini (modulo Rechtschreibfehler)
Damit muss zwingend l eine Primzahlpotenz sein. Es gibt kein $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{10} \end{eqnarray*}$ .
Der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/10 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist das was du wohl meinst, der Ring in dem Modulo-Rechnung stattfindet.

Ich weise noch darauf hin dass auch $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p^n \neq \mathbb Z /p^n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, denn der letztere ring ist nicht nullteilerfrei (z.B. ist p einer)

06.10.2012, 23:14

Mystic

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@Che Netzer

Leider bist du gerade im Begriff, dich um Kopf und Kragen zu reden, oder besser gesagt, um deine Reputation die du bisher in meinen Augen durch eine - speziell für dein Alter - Vielzahl erstaunlich sachkundiger Beiträge angehäuft hast... Was du aber hier so schreibst, ist aber sowas von daneben, dass ich einfach nur fassungslos bin... geschockt

geschockt

Es geht mir hier dabei jetzt gar nicht so sehr darum, dass - wie Captain Kirk richtig schreibt - die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers immer eine Primzahlpotenz sein muss, sondern darum, dass ja aus (n-1)+(n-1)=n-2 sofort n=0 folgt, wie du inzwischen offenbar selbst schon eingesehen hast... In Körpern gilt das somit nie, in Ringen auch nur dann wenn der Ring nur aus der Null allein besteht...

Ich habe keine Ahnung, was genau dir bei der ganzen Sache vorgeschwebt ist, wie immer man es aber auch dreht und wendet, es ist einfach nur falsch und du wärst gut beraten, dies auch einzusehen anstatt eine unhaltbare Position auch noch bis zum Schluss zu verteidigen... Lehrer

Lehrer

07.10.2012, 09:49

lgrizu

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Ich komme einmal auf die Frage des Fragestellers zurück, über Anwendungen endlicher Körper:

In der Kodierungstheorie (zum Beispiel der Reed Salomon Code, mit dem Fernsehsignale kodiert sind, aber auch viele andere Codes) sind Unterräume des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^n \end{eqnarray*}$ .

07.10.2012, 09:55

Che Netzer

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Ja, ich dachte bisher, $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ wäre eine alternative Schreibweise zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Ups

Ups

Ich würde aber gerne noch herausfinden, an welcher Stelle mein Gedanke falsch war.

Zumindest $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sollte doch ein Körper sein. Und dort ist $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ , die genannte Gleichung gilt also. Oder?
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ direkt zum Körper/Ring gehörte, würde ich die Gleichung auch anzweifeln, aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, hat man ja $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ . Oder streng genommen $\begin{eqnarray*} [n]=[0] \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht war es auch schlecht formuliert, dass ich ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Gleichung verwendet habe:
"Wenn man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ das größte Element mit sich selbst addiert, erhält man das zweitgrößte".

07.10.2012, 11:25

Mystic

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, ich dachte bisher, $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ wäre eine alternative Schreibweise zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Ups

Ups

Ich würde aber gerne noch herausfinden, an welcher Stelle mein Gedanke falsch war.

Zumindest $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sollte doch ein Körper sein. Und dort ist $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ , die genannte Gleichung gilt also. Oder?
Wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ direkt zum Körper/Ring gehörte, würde ich die Gleichung auch anzweifeln, aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, hat man ja $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ . Oder streng genommen $\begin{eqnarray*} [n]=[0] \end{eqnarray*}$ .

n gehört direkt zum Ring, wenn dieser ein Einselement besitzt, es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} n=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\text{ n mal}} \end{eqnarray*}$

Warum in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für n=2 die besagte Gleichung gelten soll, obwohl du ja selbst sagst, dass n=0 sein muss und 2=0 (in der gewöhnlichen Arithmetik!) ja bekanntlich nicht gilt, ist für mich weiter unerfindlich... geschockt

geschockt

Vermutlich ist aber einfach so - und das scheint mir im Kern dein Trugschluß zu sein - , dass für dich n in zwei Formen daherkommt: Einerseits als Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wo dann tatsächlich n=0 gilt, andererseits aber als Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wo n einfach eine natürliche Zahl ist, wie jede andere auch...

07.10.2012, 11:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mystic
n gehört direkt zum Ring, wenn dieser ein Einselement besitzt, es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} n=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\text{ n mal}} \end{eqnarray*}$

Ja, und wenn man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die rechte Seite doch Null, oder?

Zitat:

Warum in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für n=2 die besagte Gleichung gelten soll, obwohl du ja selbst sagst, dass n=0 sein muss und 2=0 ja bekanntlich nicht gilt, ist für mich weiter unerfindlich... geschockt

geschockt

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ habe ich die Addition so kennengelernt:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}0+0&=0&0+1&=1&1+0&=1&1+1&=0\,.\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Das dürfte auch allgemein akzeptiert sein, d.h. hier haben wir doch tatsächlich $\begin{eqnarray*} 1+1=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Vermutlich ist aber einfach so - und das scheint mir im Kern dein Trugschluß zu sein - , dass für dich n in zwei Formen daherkommt: Einerseits als Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wo dann tatsächlich n=0 gilt, andererseits aber als Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wo n einfach eine natürliche Zahl ist, wie jede andere auch...

Ja, irgendwie scheint hier das Missverständnis zu liegen.
Mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ meine ich das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw. mit $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ das entsprechende Element.
Die Anzahl der Elemente war nirgendwo gemeint.
Ich dachte, mit "in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ " wäre das klar.

07.10.2012, 11:42

lgrizu

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, ich dachte bisher, $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ wäre eine alternative Schreibweise zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ Ups

Ups

Noch eine Anmerkung:

Das ist selbstverständlich ein Trugschluss, wie der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_4 \end{eqnarray*}$ zeigt, dieser ist "konstruierbar" durch $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[X] / (x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ , die Restklassen sind repräsentiert durch 0,1,x,x+1.

Aber: endliche Körper gleicher Ordnung sind isomorph zueinander, also kann man die Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ prima als Stellvertreter der Körper mit Primzahlordnung verstehen.

Die Frage nach der Defintion eines zwei-Elementes hat Mystic schon gestellt. Desweiteren:

Zitat:

Original von Che Netzer
"Wenn man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ das größte Element mit sich selbst addiert, erhält man das zweitgrößte".

Man kann in nicht angeordneten Körpern wohl schlecht von der größe eines Elementes reden, der einzige bis auf Isomorphie vollständig angeordnete Körper ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Angenommen im $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} 1>0 \Rightarrow 1+1>0+1 \Rightarrow 0>1 \end{eqnarray*}$ , was eindeutig einen Widerspruch erzeugt, also kann keine Rede davon sein, dass es ein Element gibt, welches "größer" als ein anderes ist.

07.10.2012, 11:52

Che Netzer

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Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von Che Netzer
"Wenn man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ das größte Element mit sich selbst addiert, erhält man das zweitgrößte".

Man kann in nicht angeordneten Körpern wohl schlecht von der größe eines Elementes reden, der einzige bis auf Isomorphie vollständig angeordnete Körper ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Och nö, noch eine schlechte Formulierung traurig

traurig

Naja, es war hoffentlich klar, was ich meinte... Ich hatte einfach in $\begin{eqnarray*} \{0,\dotsc,n-1\} \end{eqnarray*}$ die übliche Ordnungsrelation verwendet.

Wenn man $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ nun aber als Element/Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ auffasst, dann ist $\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1) \end{eqnarray*}$ doch tatsächlich gleich bzw. in derselben Äquivalenzklasse wie $\begin{eqnarray*} (n-2)\in\mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , oder?

Was mache ich auch hier in der Algebra...?

07.10.2012, 12:12

Mystic

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn man $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ nun aber als Element/Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ auffasst, dann ist $\begin{eqnarray*} (n-1)+(n-1) \end{eqnarray*}$ doch tatsächlich gleich bzw. in derselben Äquivalenzklasse wie $\begin{eqnarray*} (n-2)\in\mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, als Gleichung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ stimmt das natürlich... Mich hat nur irritiert - und im Nachhinein bin ich auch viel zu sehr darauf herumgeritten, sorry - dass n noch ein zweites Mal, aber in einer ganz anderen Bedeutung vorkommt... Wink

Wink

Edit: Eine - natürlich nicht ganz ernst gemeinte Anwendung - der Arithmetik in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ findet man übrigens hier...

07.10.2012, 21:24

Andy2357

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Hallo zusammen,

ich wollte mich kurz bei euch für die vielen Antworten bedanken smile

smile

- Also Danke! Ich werde jetzt anhand eurer Antworten etwas weiter googeln.

Gruß,
Andreas

07.10.2012, 21:29

Andy2357

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Ah... und ja ich hatte eigentlich (n-1) + 1 = 0, oder (n-1)+(n+1)=0 ausdrücken wollen, aber dann doch nicht zu weit gedacht und (n-1) + (n-1) = 0 geschrieben. Was ja dann so nicht richtig wäre in F_n.

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