Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n

06.10.2012, 16:30

mbbm

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Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n

Hallo,

ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} n^{2} < (\frac{5}{4})^{n} \end{eqnarray*}$ gilt.

Dazu muss ich zuerst den Induktionsanfang finden. Ich weiß, dass dieser bei 31 liegt, aber wie finde ich das heraus?

Ich dachte mir ich setze $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} und g(x)=(\frac{5}{4})^{n} \end{eqnarray*}$ und setze die beiden Funktionen gleich, allerdings weiß ich nicht wie man das ganze händisch nach n auflöst, da wir das in der Schule immer mit dem Taschenrechner gemacht haben. Könnte mir jemand zeigen wie das geht?

mfg

06.10.2012, 16:33

Monoid

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RE: Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n
G

06.10.2012, 16:36

mbbm

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RE: Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n
Nein, es wird einfach verlangt, dass ich die kleinste natürliche Zahl n_{0} finde, sodass

$\begin{eqnarray*} n_{0}<(\frac{5} {4})^n_{0} \end{eqnarray*}$ gilt und das anschließend mittels vollst. Induktion beweise.

06.10.2012, 16:40

Monoid

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RE: Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n
Na überleg mal, welches die kleinste ist.

06.10.2012, 16:44

mbbm

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RE: Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n
Also für 0 und 1 gilt die Aussage, aber für 2 bis einschließlich 30 nicht

06.10.2012, 16:54

Monoid

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RE: Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n
Da sie Aussage für z.b 2 wie du selbst geagt hast, nicht gilt, ist folgende Aussage falsch:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N :n^{2} < (\frac{5}{4})^{n} \end{eqnarray*}$

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06.10.2012, 16:56

mbbm

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RE: Vollst. Induktion: n^2<(5/4)^n
Ja es gilt nicht für alle, aber für alle n>30.

06.10.2012, 16:59

Calvin

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@Mathemathemathe

Mit Leseverständnis hast du es scheinbar nicht so unglücklich

unglücklich

@mbbm
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} n^2=\left(\frac{5}{4}\right)^n \end{eqnarray*}$ kann man nur mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren) lösen. Damit kriegst du raus, dass n=31 ein Anfangswert sein könnte. Alles weitere geht dann mit vollständiger Induktion.

06.10.2012, 17:06

mbbm

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Ok, also gehe ich mal davon aus, dass mein Professor nicht verlangt, dass ich das händisch berechne, denn bis zu Näherungsverfahren sind wir noch nicht gekommen.

Dann zur Induktion, auch da brauche ich bitte eure Hilfe. Ich bin bis hierher gekommen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1<(\frac{5}{4})^{n}+2n+1 \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es weiter?

06.10.2012, 17:26

Calvin

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Ich bin mit meinen bisherigen Ansätzen leider auch noch nicht weiter. Deshalb bitte ich darum, dass jemand anderes hilft smile

smile

Ich habe versucht, die Bedingung n>30 irgendwie reinzubringen. Außerdem mit der Bernoulli-Ungleichung oder $\begin{eqnarray*} n<\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray*}$ (Folgt aus der Voraussetzung). Hat aber alles nichts gebracht unglücklich

unglücklich

06.10.2012, 17:30

mbbm

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Trotzdem danke für deine Hilfe smile

smile

06.10.2012, 17:36

Mulder

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Naja, mit

$\begin{eqnarray*} n^2+2n+1 < n^2 + \frac{n^2}{4} < \left ( \frac{5}{4} \right)^n + \frac{1}{4} \left ( \frac{5}{4} \right)^n \end{eqnarray*}$

ist man doch ruckzuck am Ziel. Natürlich sollte man

$\begin{eqnarray*} 2n+1 < \frac{n^2}{4} \end{eqnarray*}$

noch kurz begründen, aber für n>30 ist das ja keine große Sache (quadratische Ergänzung z.B. hilft). Die Induktionsvoraussetzung braucht man natürlich auch.

Edit: Obwohl man dafür natürlich auch wieder eine Induktion ansetzen könnte. Big Laugh

Big Laugh

06.10.2012, 17:37

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2(1+\frac{1}{n})^2 \end{eqnarray*}$
und darauf die I.V. und n>30 anwenden

06.10.2012, 17:37

Iorek

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Fataler Unsinn der hier stand, danke an HAL 9000. Ich frag mich noch immer, was ich damit anfangen wollte...

06.10.2012, 17:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Iorek
nun nur noch die 4 abschätzen.

@Iorek

Ein wenig grob, nicht wahr? Das rechts kannst du doch nicht mehr nach oben (!) durch

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{5}{4} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

abschätzen ... Mulder hat ja schon gesagt, wie es klappen kann.

06.10.2012, 17:43

Iorek

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Forum Kloppe

Ja, das war ein wenig sehr grob...was hatte ich mir dabei überlegt? verwirrt

verwirrt

06.10.2012, 18:03

Mystic

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Der Weg von Captain Kirk scheint mir etwas einfacher zu sein... Da muss man sich dann in Hinblick auf den Induktionsschluss eigentlich nur überlegen, für welche n die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n \right)^2 \le \frac 54 \end{eqnarray*}$

gilt...

06.10.2012, 18:13

HAL 9000

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Der Nachweis von

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{n^2}{4}-2n-1 = \left( \frac{n}{2}-2 \right)^2 - 5 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n>30 \end{eqnarray*}$ sieht auch nicht so übermäßig kompliziert aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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