Formel mit Differentialrechnung beweisen

06.10.2012, 16:59	marmeladetina	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel mit Differentialrechnung beweisen Meine Frage: Hallo Erstmal Ich hänge gerade bei einer Aufgabe meines Übungsblattes: Beweisen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung die folgenden Formeln für natürliche n $\begin{eqnarray} \leq 2: \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = n2^{n-1} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1} k * \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Bei a) bin ich mal soweit, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^{n} \end{eqnarray}$ ist und ich vielleicht eine Funktion f(x) = 2^n definiere und ableite... dann komme ich schon mal auf die rechte Seite der Gleichung... aber so wirklich auf einen grünen Zweig bin ich noch nicht gekommen... Ich wäre sehr froh um Antworten! Lg
06.10.2012, 17:25	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Aufgabe a wurde hier schon bearbeitet. Vlt. hilft dir das weiter. Bin damit aber auch schon wieder weg. Lg kgV
06.10.2012, 17:43	marmeladetina	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja i habs schon gelesen... Aber leider hab ichs nicht wirklich durchblickt... also waere ich trotzdem um ein paar tips dankbar. lg
06.10.2012, 20:02	Gastt	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomischer Lehrsatz! Ausgehend von der Funktion $\begin{eqnarray} f(x):=(1+x)^n=\ldots \end{eqnarray}$ sollte einfaches Ableiten und Auswerten an der Stelle 1 was machen lassen.
07.10.2012, 10:01	marmeladetina	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Ok also: f(x):=(1+x)^n Dann ist f'(x): n* $\begin{eqnarray} (1+x)^{n-1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} n \sum\limits_{k=0}^n-1 \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * 1^{n-k} x^{k} \end{eqnarray}$ Aber irgendwie komm ich hier nicht weiter... Wie soll ich da umformen, dass da jemals ein k in meiner Summe stehen bleibt? Entschuldigung dass ich mich so anstelle, aber irgendwie steh ich total aufm Schlauch... Lg
07.10.2012, 10:17	marmeladetina	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry das -1 gehört noch in den Laufindex...
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07.10.2012, 12:18	Gastt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomischer Lehrsatz! Es ist doch $\begin{eqnarray} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k. \end{eqnarray}$ Die linke Seite hast Du ja schon abgeleitet. Jetzt mach das doch auch mal mit der rechten Seite.
07.10.2012, 15:59	marmeladetina	Auf diesen Beitrag antworten »
ok auf dieses Problem bin ich bei meinen zahlreichen Versuchen die Aufgabe zu lösen immer gestoßen. Ich weiß nicht, wie man eine Summe oder den Binomialkoeffizienten ableiten kann. Ich dachte das wäre nicht möglich? Bleibt das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann einfach so stehen, und ich leite nur das $\begin{eqnarray} x^{k} \end{eqnarray}$ ab? Lg

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