Lagrange-Multiplikator: Kleinste Fläche bei gleicher Bogenlänge

06.10.2012, 23:12

Trak92

Lagrange-Multiplikator: Kleinste Fläche bei gleicher Bogenlänge

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Aufgabe im Rahmen der theoretischen Physik VL bekommen, da
diese aber eher mathematisch ist stelle ich sie mal hier rein.

Es geht darum, dass man zeigen soll, dass ein Kreissegment als Funktion mit vorgegebenen Anfangs- und Endpunkt die größte Fläche bei vorgegebener Bogenlänge einnimmt.

Dazu soll man Lagrange-Multiplikatoren und die Euler-Lagrange Gleichung benutzen.

Meine Ideen:
Ich habe damit angefangen die Fläche unter der Funktion und die konstante Seillänge auszudrücken:

Die Fläche ist einfach das Integral:

$\begin{eqnarray*} A=\int_a^b \! y(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Die Bogenlänge:

$\begin{eqnarray*} s=\int_a^b \! \sqrt{1+u^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
mit u=dy/dx

Meine neues Funktional, das ich extremalisieren muss wäre somit:

$\begin{eqnarray*} F=\int_a^b \!y(x)+\lambda ( \sqrt{1+u^{2}}-s) \, dx \end{eqnarray*}$

Mit der Euler-Lagrange-Gleichung gilt beim Extremum:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy}F=\frac{d}{dx}( \frac{d}{du}F) \end{eqnarray*}$
wobei das eg. partielle Ableitungen von y und u sein sollten, aber ich finde den Code nicht (bei der Funktion ist es eh nicht wichtig, da es keine Mischterme gibt)

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} 1=\lambda\frac{d}{dx}(\frac{d}{du}\sqrt{1+u^{2}}) \end{eqnarray*}$

und da Lambda eine Konstante ist:

$\begin{eqnarray*} c=\frac{d}{dx}(\frac{d}{du}\sqrt{1+u^{2}}) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin dürfte es eigentlich richtig gewesen sein, aber ab jetzt bin ich mir nicht mir sicher wie ich es lösen kann...

Ich würde so anfangen:

$\begin{eqnarray*} cdx=\frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}} \end{eqnarray*}$

dann wollte ich das integrieren, aber da auf der rechten Seite kein du steht müsste ich es ja direkt auswerten und da bin ich mir nicht sicher wie genau das mit den Integrationsgrenzen ist. Wenn ich ein du hätte könnte ich auf beiden Seiten ein unbestimmtes Integral machen, aber
ich weiss nicht ob ich das kann, wenn dort kein du steht, dann müsste ich das ja unbestimmt auswerten. Aber ich weiss auch nicht ob ich ein bestimmtes Integral nehmen darf, und selbst wenn müsste ich es doch auswerten, aber ich kenne u gar nicht.

Soweit mein Problem, ich hoffe, das der Anfang schonmal richtig war, und dass man meinem Gedankengang folgen konnte...

07.10.2012, 13:26

Huggy

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RE: Lagrange-Multiplikator: Kleinste Fläche bei gleicher Bogenlänge
Dein Einstieg ist in mancher Hinsicht verkorkst. Da aber dies

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1=\lambda\frac{d}{dx}(\frac{d}{du}\sqrt{1+u^{2}}) \end{eqnarray*}$

und da Lambda eine Konstante ist:

$\begin{eqnarray*} c=\frac{d}{dx}(\frac{d}{du}\sqrt{1+u^{2}}) \end{eqnarray*}$

mit einer kleinen Einschränkung in Ordnung ist, lasse ich den Einstieg erst mal weg. Wenn du dastehen hast

$\begin{eqnarray*} \frac {dz(x)}{dx}=c \end{eqnarray*}$

solltest du das ohne Nachdenken integrieren können. Benutze das unbestimmte Integral. Ob nun gilt

$\begin{eqnarray*} z(x)= \frac {\partial}{\partial u} \sqrt {1+u(x)^2} \end{eqnarray*}$

oder sonst etwas, spielt doch keine Rolle. Wenn du das durch formales Rechnen mit Differentialen angehen möchtest, was völlig unnötig ist, solltest du beachten, dass nach Multiplikation mit dx auf der linken Seite dz stehen bleibt und nicht z.

07.10.2012, 13:44

Trak92

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Hi,

ich habe mitlerweile selbst gemerkt, dass ich mit dem d einen Fehler gemacht habe, und das dann berechnet.

Außerdem habe ich die Aufgabe auch zufällig in einem Lehrbuch gefunden und konnte das dann mit dessen Hilfe lösen.

Das Problem hat sich also erledigt...

Mich würde es trotzdem interessieren, wie man es am Anfang besser machen kann?

Der einzige Unterschied im Buch war, dass nur Lambda mal das Integral der Länge addiert wurde und nich das -s, so wie ich es gemacht habe.

Gibt es da einen besseren Weg?

07.10.2012, 14:26

Huggy

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Mich haben 4 Dinge beim Einstieg gestört:

(1) Wenn man ein Variationsproblem der Form

$\begin{eqnarray*} F= \int\limits_{x_1}^{x_2}L(y, y',x)dx=Min! \end{eqnarray*}$

hat, lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial y}= \frac {d}{dx}\left ( \frac {\partial F}{\partial y'}\right ) \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y}= \frac {d}{dx}\left ( \frac {\partial L}{\partial y'}\right ) \end{eqnarray*}$

Tatsächlich hast du ja auch diese Ableitungen gebildet. F kann man gar nicht im üblichen Sinne nach y oder y' ableiten.

(2) Es fehlte mir eine Begründung, weshalb der Formalismus mit dem Lagrangemultiplikator auch bei Variationsproblemen anwendbar ist. Man lernt ihn ja üblicherweise bei normalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen kennen. Aber das habt ihr wahrscheinlich in der Vorlesung besprochen.

(3) Wenn man mit dem Lagrangemultiplikator arbeitet, wie kommt dann die Länge s unter das Integral. Das hast du jetzt angesprochen, aber immer noch nicht ganz richtig. Der Trick besteht in der Umformung:

$\begin{eqnarray*} s=\int\limits_{x_1}^{x_2} \frac {s}{x_2-x_1}dx \end{eqnarray*}$

(4) Du hast angenommen, dass die gesuchte Kurve, die die Fläche maximiert, sich als Funktion y(x) schreiben lässt. Das mag plausibel erschienen, müsste aber bewiesen werden. Tatsächlich ist es auch nicht allgemein richtig. Das sieht man schon, wenn man eine Länge s vorgibt, die größer als der Halbkreis über der Strecke x1-x2 ist. Die Lösung ist dann zwar noch immer ein Kreissegment, aber eines, das breiter als die Strecke ist.

Ein allgemeinerer Ansatz besteht darin, die gesuchte Kurve in Parameterform x(t), y(t) anzusetzen. Das kompliziert natürlich die Lösung.

07.10.2012, 14:55

Trak92

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Hi,

danke für deine Antworten.

Mein Hauptproblem war halt, dass ich mir nicht ganz sicher war, ob die Formulierung
so wie ich es gemacht habe richtig war. Wir haben die Methode der LM nämlich nicht in der Vorlesung
gemacht, sondern sollten uns diese selbst "erarbeiten". Ich habe diese dann erstmal im Internet gesucht, und für Funktionen gefunden, also habe ich versucht das anzuwenden (bei Funktionalen).

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