Wieso gerade soviele Nachkommastellen?

07.10.2012, 11:44

klaus1111

Wieso gerade soviele Nachkommastellen?

Folgende Fragestellung:

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{1}{4+x_{n} } \end{eqnarray*}$

Warum kann man davon ausgehen, dass ab n >= 7 alle xn auf sieben Nachkommastellen genau xn = 0,2360679... lauten, oder dass ab n >= 12 alle xn auf zwölf Nachkommastellen xn = 0,236067977499... lauten? Da man statt sieben oder zwölf jede andere Zahl von Nachkommastellen vergeben könnte bedeutet dies, dass:

$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty } x_{n} \end{eqnarray*}$

existiert.

Meine ANtwort: Durch die Definition von xn als alternierende Folge (s.o.) und die Erkenntnis dessen Gesetzmäßigkeit führt xn auf genau n Nachkommastellen.

Passt diese Formulierung mathematisch gesehen?

07.10.2012, 11:54

Captain Kirk

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Ich nehme an, dass ist Aufgabe 9 des im letzten Thread besprochenen Arbeitsblatts?
Verwende Aufgabe 8.
Interessant ist doch, dass man die vorige Aufgabe immer so gut für die nächste verwenden kann, oder?

Wieso ist die Folge eigentlich alternierend? Was verstehst du unter alternierend?

Zitat:

die Erkenntnis dessen Gesetzmäßigkeit führt xn auf genau n Nachkommastellen.

was willst du damit sagen?

P.S. Deine Angabe definiert gar keine Folge. Es fehlt ein Startwert.

07.10.2012, 12:02

klaus1111

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Ich nehme an, dass ist Aufgabe 9 des im letzten Thread besprochenen Arbeitsblatts?
Verwende Aufgabe 8.
Interessant ist doch, dass man die vorige Aufgabe immer so gut für die nächste verwenden kann, oder?

Wieso ist die Folge eigentlich alternierend? Was verstehst du unter alternierend?

Zitat:

die Erkenntnis dessen Gesetzmäßigkeit führt xn auf genau n Nachkommastellen.

was willst du damit sagen?

P.S. Deine Angabe definiert gar keine Folge. Es fehlt ein Startwert.

Alternierend war improvisiert. Eigentlich schwingt sie sich auf einen Wert ein, das meinte ich damit.

Der Startwert x0 = 0.

Wie kann ich eine bewiesene Ungleichung so umformen, dass sie mir Auskunft über die Nachkommastellen gibt. Ich versteh nicht einmal wieso xn genau n nachkommastellen liefert (wo kann ich das an der Folge sehn), daher meine Aussage laut Gesetzmäßigkeit.

07.10.2012, 12:20

Captain Kirk

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Tipp 1: Nicht improvisieren in der Mathematik. Insbesondere nicht mit Begriffen, denn deren Bedeutung ist relativ strikt vorgegeben.
Tipp 2: Nicht gleich von 2 Stichproben auf eine Gesetzmäßigkeit schließen. Und wenn, dann muss man diese auch beweisen nicht nur behaupten.

Was sagt die letzte Ungleichung in 8. im Fall n=m=7 aus?

Zitat:

Ich versteh nicht einmal wieso xn genau n nachkommastellen liefert (wo kann ich das an der Folge sehn), daher meine Aussage laut Gesetzmäßigkeit.

Da Satz verwirrt mich sehr. Ich glaub du machst hier einen Zirkelschluss. Du vermutest eine Gesetzmäßigkeit ("xn liefert n Nachkommastellen") und begründest, dass dies aufgrund einer Gestzmäßigkeit (was soll die sein? Die vermutute kann es ja nicht sein, denn die gilt es ja zu begründen.)

07.10.2012, 13:18

klaus1111

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Was sagt die letzte Ungleichung in 8. im Fall n=m=7 aus?

Du hast recht, das hat was mit $\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n} | \end{eqnarray*}$ zu tun, weil uns ja dies die Genauigkeit der Nachkommastellen gibt.

Dh der Beweis wäre ja dann einfach die Differenz, weil ich brauch ja nur einsetzen und ich weiß, dass bei x7 - x6 genau 7 Nachkommastellen habe.
Wenn ich es also vergleiche mit 1/10^(n+1), dann passt die Aussage.

07.10.2012, 13:37

Captain Kirk

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Schön dass du zitierst was du offensichtlich nicht richtig liest:
Ich schrieb n=m=7.

Warum verwendest du dann n=6?
Und warum verwendest du nicht Formel aus Aufgabe 8 in der auch ein m vorkommt?

Zitat:

dass bei x7 - x6 genau 7 Nachkommastellen habe. Wenn ich es also vergleiche mit 1/10^(n+1), dann passt die Aussage.

und was das sagen soll und insbesondere wie du auf 1/10^(n+1) kommst ist mir schleierhaft.
Was vergleichst du damit?
Welche Aussage passt?

07.10.2012, 13:55

klaus1111

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Schön dass du zitierst was du offensichtlich nicht richtig liest:
Ich schrieb n=m=7.

Da ist auch ein k in der Ungleichung, wie wähle ich dann das?

$\begin{eqnarray*} |x_{k} - x_{m} | \leq \frac{1}{4*16^{n} } \end{eqnarray*}$

k muss ja nicht gleich m sein...

Zitat:

Warum verwendest du dann n=6?
Und warum verwendest du nicht Formel aus Aufgabe 8 in der auch ein m vorkommt?

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n} | \leq \frac{1}{4*16^{n} } \end{eqnarray*}$

Das ist doch die interessante Formel oder besser gesagt der linke Teil. Dadurch bin ich draufgekommen, dass
$\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n} | \end{eqnarray*}$ meine Nachkommagenauigkeit darstellt. Setze ich nun n = 7 dann habe ich ja x7 - x6 und rechne ich das auch aus, dann kommt 0,00000005658 raus.

Dass das dann noch kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4*16^{n} } \end{eqnarray*}$
sein muss, sagt mir ehrlich gesagt nichts.

Jetzt ist halt die Frage wie ich eine Formel zusammenkriege die dann als Ergebnis die Nachkommastellen ausgibt und als Eingabe das xn annimmt:

Also sowas in der Art: $\begin{eqnarray*} N_{k} = \alpha * (|x_{n+1} - x_{n}|) \end{eqnarray*}$

Ich habe aber keine Idee wie ich ein Alpha so wählen kann, dass ich die Nachkommastellen kriege...

Zum 1/10^n-1:

Ich glaube ich kann es mit dem hier vergleichen:

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n}| \geq \frac{1}{10^{n+1} } \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 14:15

Captain Kirk

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Zu Zeigen ist doch das hier:

Zitat:

Warum kann man davon ausgehen, dass ab n >= 7 alle xn auf sieben Nachkommastellen genau xn = 0,2360679... lauten

Anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} |x_n -0,2360679|<10^{-8} \end{eqnarray*}$
Was wir wissen ist
$\begin{eqnarray*} |x_k-x_7|< \frac{1}{4\cdot 16^7} \end{eqnarray*}$ (ich hab n=m=7 in die Formel eingesetzt.)
für alle k>7.
Ein Weg das ganze hier zu berechnen wäre:
Sei n>7:
$\begin{eqnarray*} |x_n-0,2360679|=|x_n-x_7 +x_7-0,2360679|\leq |x_n-x_7|+|x_7-0,2360679| \end{eqnarray*}$
Ersteres können wir mit dem Obigen Abschätzen, letzeres auch (meinetwegen mit Taschenrechner)

Anmerkung: Ich hab keine Ahnung was du mit dem N $\begin{eqnarray*} _k \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezweckst.

07.10.2012, 14:50

klaus1111

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$\begin{eqnarray*} |x_n -0,2360679|<10^{-8} \end{eqnarray*}$

Müsstest du da nicht das Größer Zeichen umdrehen?

07.10.2012, 15:01

Captain Kirk

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nein möchte ich nicht.
Warum sollte ich das wollen?
Anderfalls wäre doch auch z.b. xn=1 zulässig und das soll ja gerade nicht so sein.

07.10.2012, 15:11

klaus1111

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Also meine UnGleichung schaut so aus:

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n}| \geq \frac{1}{10^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Und wenn ich da n E Natürliche Zahlen sage, dann ist es auch immer größer.
Ich könnts ja auch so ausdrücken oder?

Und der Beweis ist dann halt einfach die Vollständige Induktion...

Was genau du dann mit dem:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x_k-x_7|< \frac{1}{4\cdot 16^7} \end{eqnarray*}$ (ich hab n=m=7 in die Formel eingesetzt.)

erreichst ist mir ein Rätsel, oder ich kann mir nicht erklären wieso du x7 dazu zählst und wieder subtrahierst...

07.10.2012, 15:50

Captain Kirk

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Zitat:

Also meine UnGleichung schaut so aus: $\begin{eqnarray*} |x_{n+1} - x_{n}| \geq \frac{1}{10^{n+1} } \end{eqnarray*}$ Und wenn ich da n E Natürliche Zahlen sage, dann ist es auch immer größer. Ich könnts ja auch so ausdrücken oder?

Nein kannst du nicht. ich habe doch gerade erklärt warum?
Diese Ungleichung ist falsch. Setz doch einfach mal ein paar Werte für n ein.
Ebenso ist mir ein rätsel was du mit dieser Ungleichungn erreichen willst.

Zitat:

erreichst ist mir ein Rätsel, oder ich kann mir nicht erklären wieso du x7 dazu zählst und wieder subtrahierst...

Auch das habe ich bereits gesagt:
Das soll geziegt werden.
$\begin{eqnarray*} |x_n -0,2360679|<10^{-8} \end{eqnarray*}$
Dazu schätze ich den linken Term nach oben ab, mit dem Trick ein Element dazu zu zählen und wieder ab zu ziehen um die Dreiecksungleichung verwenden zu können.

Zitat:

Was genau du dann mit dem: Zitat: $\begin{eqnarray*} |x_k-x_7|< \frac{1}{4\cdot 16^7} \end{eqnarray*}$ (ich hab n=m=7 in die Formel eingesetzt.) erreichst ist mir ein Rätse

das habe ich bereits gesagt:

Zitat:

Ersteres können wir mit dem Obigen Abschätzen, letzeres auch (meinetwegen mit Taschenrechner)

Da es mir anscheinand nicht möglich ist mich so auszudrücken, dass du verstehst worauf ich rauswill

07.10.2012, 15:59

klaus1111

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Nein kannst du nicht. ich habe doch gerade erklärt warum?
Diese Ungleichung ist falsch. Setz doch einfach mal ein paar Werte für n ein.
Ebenso ist mir ein rätsel was du mit dieser Ungleichungn erreichen willst.

Die Ungleichung ist nicht falsch. Ich habe es bei x 1 bis x 5 ausprobiert und auch bei xn = 7 NK Stellen.

Zitat:

Da es mir anscheinand nicht möglich ist mich so auszudrücken, dass du verstehst worauf ich rauswill

Es ist mir immer noch so unklar wie vorher was da deine Schritte sind und wieso weil du das so einseitig erklärst.

Zitat:

Dazu schätze ich den linken Term nach oben ab, mit dem Trick ein Element dazu zu zählen und wieder ab zu ziehen um die Dreiecksungleichung verwenden zu können.

WAS WIESO? schätzt du da werte ab?

07.10.2012, 18:55

klaus1111

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Wieso stimmt meine Ungleichung nicht?

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