Logik - Formeln als wahr oder falsch einstufen

07.10.2012, 13:52	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Logik - Formeln als wahr oder falsch einstufen Ich habe hier vier Formeln, bei denen die Mittel der logischen Schreibweise benutzt werden und muss schauen, ob sie wahr sind und das verbal begründen. Ich bin mir recht sicher, dass ich die Aufgabe lösen kann, bin aber sehr happy, wenn mich jemand auf Fehler hinweisen könnte. a) $\begin{eqnarray} \exists x\in \mathbb N \exists y\in \mathbb N : x<y \end{eqnarray}$ also: es gibt mindestens ein x aus den natürlichen Zahlen, das kleiner ist als mind. ein y aus den natürlich Zahlen. Diese Formel ist für mich wahr! b) $\begin{eqnarray} \exists x\in \mathbb N \forall y\in \mathbb N : x<y \end{eqnarray}$ mindestes ein x aus den natürlich Zahlen ist kleiner als alle y aus den natürlichen Zahlen. Ich glaube, dass die Formel falsch ist, da es doch keine natürliche Zahl gibt, die kleiner als alle anderen natürlichen Zahlen ist c) $\begin{eqnarray} \forall x\in \mathbb N \exists y\in \mathbb N : x<y \end{eqnarray}$ alle x aus den den natürlichen Zahlen sind kleiner als mindestens ein y aus den natürlichen Zahlen auch hier glaube ich, dass es falsch ist, kann nur nicht ganz ausdrücken, warum. d) $\begin{eqnarray} \forall x\in \mathbb N \forall y\in \mathbb N : x<y \end{eqnarray}$ für alle x aus den natürlichen Zahlen und für alle y aus den natürlichen Zahlen gilt: x<y ich denke, das ist richtig, weil die Definition hier logisch erscheint
07.10.2012, 14:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Begründung zu a) ist soweit richtig, beweisen kannst du die Aussage, indem hier einfach konkrete Werte für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ angegeben werden, die passen. Bei b) denkst du in die richtige Richtung, die Aussage könnte man hier auch mit einem Gegenbeispiel widerlegen. Kannst du eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ finden, für die $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ nie erfüllt ist, egal welche natürliche Zahl du für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einsetzt? Ähnlich kannst du bei der c) argumentieren, kannst du eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ finden, zu der es keine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ gibt? Bei der d) solltest du dir noch einmal die Aussage genau durch den Kopf gehen lassen und über deine Antwort nachdenken.
07.10.2012, 14:21	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
ad b) wenn ich für y 0 einsetze (bzw eins, je nach Definition der natürlichen Zahlen), gibt es kein x, das kleiner wäre. bei c) kann ich allerdings kein Bsp finden, weil es doch immer eine Zahl gibt, die größer ist, die Menge der nat. Zahlen ist ja unendlich. d) ist vermutlich doch falsch, weil die Aussage falsch ist, wenn ich für x und y jeweils den gleichen Wert einsetze. Meinst du das?
07.10.2012, 14:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Argumentation und Beispiel für b) passt so. Bei c) hast du deinen Fehler damit auch gefunden, du kannst für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ natürlich immer eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ finden, die größer ist. Das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ darf sich ruhig verändern, wenn das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ verändert wird, d.h. wenn ich dir $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ vorgebe, könntest du mit $\begin{eqnarray} y=2 \end{eqnarray}$ antworten. Wenn ich den $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert jetzt veränder und z.B. auf 2 setze, dann passt du deinen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Wert eben an. Das ist der große Unterschied zur Aufgabe b), dort wird ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert festgelegt, der dann für alle $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte gelten soll, d.h. der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert kann nicht mehr verändert werden. Bei der d) meinte ich zwar nicht unbedingt den gleichen Wert für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , das reicht aber auch schon aus. (Ich hatte an z.B. $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=1 \end{eqnarray}$ gedacht).
07.10.2012, 14:37	Kris_	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, du hast mir damit sehr geholfen!!

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