Drehmatrix komplexe Eigenwerte und Matrix in Drehmatrix verwandeln

07.10.2012, 15:50

MissLambda

Drehmatrix komplexe Eigenwerte und Matrix in Drehmatrix verwandeln

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei mich für meine mündliche Staatsexamensprüfung vorzubereiten und dabei sind mir zwei Fragen aufgefallen, deren Antworten ich werder selbst noch in meinem Skript finden kann.
Sie lauten:
1. Warum haben Drehmatrizen komplexe Eigenwerte?
2. Wie forme ich eine gegebene Matrix in eine Drehmatrix um die x-Achse um?

Meine Ideen:
Leider habe ich keine Idee.

Bei 2. könnte ich mir höchstens vorstellen, dass das ganze irgendwas mit Basiswechsel zu tun hat, aber wie genau das gehen soll, weiß ich nicht...

Ich wäre echt über jeden Hinweis und jede Hilfe ser dankbar!

08.10.2012, 18:00

MissLambda

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat wirklich gar niemand eine Idee??
Nicht mal eine kleine?? Hilfe

08.10.2012, 19:35

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

1.) ich habe nichts gefunden, dass Drehmatrizen komplexe Eigenwerte besitzen müssen.

z.B. hat die Drehmatrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin (\varphi) \\ -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi) +i \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

die sind aber reell, wenn $\begin{eqnarray*} \varphi = z\cdot \pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt verwirrt

09.10.2012, 09:09

MissLambda

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das bestätigt mich in meiner Annahme, ich war mir damit näcmlich auch nicht 100%ig sicher ob das überhaupt sein muss. Danke! Freude

Und wie kann am aus einer Matrix eine Drehmatrix machen?
Oder gibts da auch wieder einen Haken? verwirrt

09.10.2012, 09:25

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Drehmatrix beschreibt eine Drehung um eine Achse.

Also kann man sich leicht überlegen, welche Eigenvektoren es gibt, das ist einmal ein Vektor in Richtung der Drehachse, dieser wird duch die Drehung auf sich selbst abgebildet, also Eigenwert 1.

"Einfach so" aus einer beliebigen Matrix "eine Drehmatrix machen" funktioniert auch nicht ohne weiteres, es ist davon abhängig, was die Matrix macht, also um was für eine Abbildung es sich handelt.

Handelt es sich zum Beispiel um eine Spiegelung, dann kann man einfch die zweite Potenz dieser Matrix nehmen, denn zwei hintereinander ausgeführte Spiegelungen sind eine Drehung.

Handelt es sich um eine Matrix, die einen Vektor streckt oder staucht, so muss man diese Streckung/Stauchung rückgngig machen und gleichzeitig drehen, man muss die Matrix also mit einer Drehstreckung/stauchung multiplizieren.

geht es um eine Drehspiegelung kann man die Spiegelung herausnehmen (also mit dem Inversen einer Spiegelmatrix multiplizieren) oder aber eine Spiegelung hinzufügen.
Und das sind nur einige wenige Beispiele möglicher Abbildungen....
Es ist also davon abhängig, was die Abbildung eigentlich macht.

Edit: Achso, zu der Frage:

Zitat:

1. Warum haben Drehmatrizen komplexe Eigenwerte?

Die hat Dopap beantwortet, die Eigenwerte einer Drehung im IR² sind $\begin{eqnarray*} \cos(\phi )+i \sin( \phi) \end{eqnarray*}$

Die gestellte Frage ist nicht: Warum haben Drehmatrizen immer Eigenwerte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Es ist immerhin $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ......

Neue Frage »

Antworten »

Drehmatrix komplexe Eigenwerte und Matrix in Drehmatrix verwandeln

Verwandte Themen