def. elementar matrizen

07.10.2012, 21:12

123test

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def. elementar matrizen

hallo leute!
vorab ich suche keine lösung für ne aufgabe sondern mir ist eine definition nicht ganz klar bzw verstehe sie grad gar nicht!! ich wäre dankbar wenn mir einer auf die sprünge helfen würde!

also wie schon geschrieben geht es um elementar matrizen nun hänge ich an der definition und der dazugehörigem bsp!

definition: seien $\begin{eqnarray*} E_{ii} , E_{ij} , E_{jj} , E_{ji} \in M_{mm} (K) \end{eqnarray*}$
(A) für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} P_{ij}=I_{m} - E_{ii} + E_{ij} - E_{jj} + E_{ji} \end{eqnarray*}$

(B) für r E K\ { 0} sei $\begin{eqnarray*} D_{i} (r) = I_{m} + (r-1) E_{ii} \end{eqnarray*}$

(C) für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} T_{ij}(s)=I_{m}+ sE_{ii} \end{eqnarray*}$

die matrizen $\begin{eqnarray*} P_{ij} , D_{i} (r) , T_{ij}(s) \end{eqnarray*}$ werden elementarmatrizen genannt

nun kommt die übungsaufgabe
bilden sie $\begin{eqnarray*} P_{24} , D_{2}(3) , T_{54}(-2) in M_{55} (R) \end{eqnarray*}$

ergebnis a : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergebnis b : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergenis c: : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

würde die aufgaben gern schritt für schritt durchgehen

bei a weiss ich einfach nicht wie ich die position der 1en bestimmen soll! $\begin{eqnarray*} E_{ii} , E_{ij} , E_{jj} , E_{ji} \end{eqnarray*}$
sind ja angaben an welcher stelle ich die eins in die matrix einsetzen muss um
$\begin{eqnarray*} P_{ij}=I_{m} - E_{ii} + E_{ij} - E_{jj} + E_{ji} \end{eqnarray*}$
berechnen zu können! bin für jede hilfe dankbar!!

ps : hatte versehentlich das thema in der schulmathematik untergebracht evtl kann ein mod es dort löschen danke!

07.10.2012, 22:32

lgrizu

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RE: def. elementar matrizen
Also, die von dir verwendeten Notationen kenne ich nicht, gehe aber einmal davon aus, dass

$\begin{eqnarray*} E_{i,j}=\begin{pmatrix}0&0&0&...&0&0&0\\0&0&0&...&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&...&1_{i,j}&0&...&0\\0&0&0&...&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&0&...&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist, also dass doe Matrix nur aus Nullen besteht, außer dem Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte, dort hat sie eine 1.

Nun sollte das ganze doch zu bewerkstelligen sein......

07.10.2012, 22:41

123test

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http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix
wird das bsp auch aufgeführt = T1,2 und T2,4
ICH VERSTEHE ES ABER GRAD NICHT

07.10.2012, 22:44

lgrizu

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Dann lass uns doch mal gemeinsam das Beispiel $\begin{eqnarray*} P_{2,4} \end{eqnarray*}$ durchgehen.

Es ist m=5, betrachtet werden also 5X5 Matrizen (klar, oder?)

Was ist i, was ist j ind $\begin{eqnarray*} P_{2,4} \end{eqnarray*}$ ?

Wie schauen also $\begin{eqnarray*} E_{i,i},~E_{i,j},~E_{j,j},~E_{j,i} \end{eqnarray*}$ aus?

07.10.2012, 22:49

123test

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Pij= P2,4
E2,2
E2,4
E4,4
E4,2
richtig?

07.10.2012, 22:51

lgrizu

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Genau, $\begin{eqnarray*} E_{2,2} \end{eqnarray*}$ ist die Matrix, die an der Stelle 2,2 eine 1 hat und ansonsten nur Nullen, also in der 2. Zeile und der 2.Spalte befindet sich eine 1.

Analog ist $\begin{eqnarray*} E_{2,4} \end{eqnarray*}$ die Matrix, die in der 2. Zeile, 4. Spalte eine 1 hat und ansonsten nur Nullen etc.

Nun einmal die Matrizen aufschreiben und die entsprechende Rechnung durchführen.

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07.10.2012, 22:53

123test

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oh mann, so einfach ! ich schreib mir das erst mal auf dauert ne weile!

07.10.2012, 23:01

lgrizu

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Zitat:

Original von 123test
oh mann, so einfach ! ich schreib mir das erst mal auf dauert ne weile!

Naja, wirklich schwer ist es nicht...... Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2012, 23:27

123test

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ok a past! versuchen wir b
$\begin{eqnarray*} D_{2}(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{i} (r) = I_{m} + (r-1) E_{ii} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{2} (3) = I_{m} + (3-1) E_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{2} (3) = I_{m} + (2) E_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{2} (3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.10.2012, 23:38

123test

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(c)
für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} T_{ij}(s)=I_{m}+ sE_{ii} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{54}(-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{54}(-2) =I_{m}+ -2*E_{54} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{54}(-2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig!

08.10.2012, 00:00

lgrizu

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Na also, klappt doch ganz gut.....

Zitat:

(c)
für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} T_{ij}(s)=I_{m}+ sE_{ii} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{54}(-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{54}(-2) =I_{m}+ -2*E_{54} \end{eqnarray*}$

hier muss es heißen $\begin{eqnarray*} T_{ij}(s)=I_{m}+ sE_{ij} \end{eqnarray*}$ .......

Es stimmt nämlich ansonsten nicht mit dem Ergebnis überein und es wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} D_{i}(r)=T_{ij}(r-1) \end{eqnarray*}$ .....

Ansonsten natürlich richtig.....

08.10.2012, 21:40

123test

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so der part ist klar jetzt geht es weiter!
Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und sei B die matrix, die aus A entsteht, indem wir die erste und die dritte vertauschen, dann die neue erste zeile mit 6 multiplizieren und die zweite zeile zur dritten addieren. berechne B und bestimme die 3x3 matrix S, so das SA=B ist

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 54 & 0 & 6 & 12 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 6 & 8 & 10 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bis dahin ist alles klar!

laut skript: wenn wir die 3x3 matrix $\begin{eqnarray*} P_{13} \end{eqnarray*}$ von links an A multiplizieren, soerhalten wir die Matrix, die aus A entsteht, wenn wir die erste und dritte Zeile vertauschen. multipliezieren wir $\begin{eqnarray*} P_{13} A \end{eqnarray*}$ von links mit der 3x3 matrix $\begin{eqnarray*} D_{1}(6) \end{eqnarray*}$ so wird die erste zeile mit 6 multiplieziert. multipliezieren wir die Matrix $\begin{eqnarray*} D_{1}(6) P_{13}A \end{eqnarray*}$ von links mit $\begin{eqnarray*} T_{32}(1) \end{eqnarray*}$ , so wir die zweite zeile von $\begin{eqnarray*} D_{1}(6) P_{13}A \end{eqnarray*}$ zur dritten addiert und es gilt
$\begin{eqnarray*} T_{32}(1) D_{1}(6) P_{13}A =B \end{eqnarray*}$

nun kommt das was etwas schwammig ist!
laut skript wird folgendes erzeugt!
$\begin{eqnarray*} P_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{1}(6)=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{32}(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.ich interpretiere diese matrix! es wird von der einheitsmatrix ausgegangen, da wir die zeile 1 und 3 getauscht haben wird dies auch hier praktieziert! richtig?? so kommt auch der ausdruck $\begin{eqnarray*} P_{13} \end{eqnarray*}$ her.

2. wir gehen wieder von der einheitsmatrix aus ! richtig? da wir die erste zeile im zweiten schritt mit 6 multipliziert haben entsteht $\begin{eqnarray*} D_{1}(6) \end{eqnarray*}$

3.da wir die zweite zeile zu der dritten addiert haben entsteht $\begin{eqnarray*} T_{32}(1) \end{eqnarray*}$ , wieder ausgehend von der einheitsmatrix!

richtig????

08.10.2012, 22:51

lgrizu

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Jap, aber wie die Matrizen gebildet werden steht doch schon in deinem Anfangspost....

Was sie bewirken sind elementare Zeilenumformungen.

Der Gauß-Algorithmus ist also die Hintereinanderausführung mehrerer Matrixmultiplikationen (mit Elemetarmatrizen).

08.10.2012, 23:04

123test

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es sitz aber noch nicht hilfst du mir bitte!

08.10.2012, 23:07

lgrizu

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Und wobei jetzt genau? verwirrt

verwirrt

08.10.2012, 23:17

123test

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die 3x3 matrix die gegeben ist muss doch mit dieser def
$\begin{eqnarray*} P_{ij}=I_{m} - E_{ii} + E_{ij} - E_{jj} + E_{ji} \end{eqnarray*}$
P13 bilden. woher weiss ich was $\begin{eqnarray*} - E_{ii} + E_{ij} - E_{jj} + E_{ji} \end{eqnarray*}$ ist?

08.10.2012, 23:36

123test

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1.ich interpretiere diese matrix! es wird von der einheitsmatrix ausgegangen, da wir die zeile 1 und 3 getauscht haben wird dies auch hier praktieziert! richtig?? so kommt auch der ausdruck her.

wenn ich also vorgegeben habe 3x3 matrix wird nur die einheitsmatrix genommen und dann so umgeformt wie ich in der hauptaufgabe vorangegangen bin verwirrt

verwirrt

wenn ich zeilen vertauscht habe muss ich das dann auch dort machen?)
P13 bedeutet ja eigentlich das ich an dieser stelle eine 1 habe!

09.10.2012, 08:23

lgrizu

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Zitat:

Original von 123test

P13 bilden. woher weiss ich was $\begin{eqnarray*} - E_{ii} + E_{ij} - E_{jj} + E_{ji} \end{eqnarray*}$ ist?

Ich dachte, das wäre mitlerweile klar, $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ ist die Matrix, die in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte eine 1 hat und ansonsten nur Nullen.

Hier ist i=1 und j=3.....

Die Multiplikation einer Elementarmatrix mit einer Matrix führt zu einer elementaren Zeilenoperation.

So vertauscht die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} P_{ij} \end{eqnarray*}$ die i-te Zeile mit der j-ten Zeile.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} D_i(r) \end{eqnarray*}$ bewirkt, dass die i-te Zeile mit r multipliziet wird und die Matrix $\begin{eqnarray*} T_{ij}(r) \end{eqnarray*}$ addiert das r-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile.

Man kann da also auch durch elementare Zeilenumformungen drauf kommen.

09.10.2012, 14:26

123test

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P13 ist angabe des lösungsteils, den ich hätte selbst rausfinden müssen!
p13 wird wie ermittelt aus einer 3x3 matrix die sonst keine angaben hat! dat will ich wisse! ist dann Pij=Im?? das wurde ja im bsp gemacht! was aus meiner logik grad aber nicht sein darf! da die definition anders ist!

09.10.2012, 14:41

lgrizu

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Wir haben die Matrix A mit:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fernerhin haben wir eine Matrix $\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 54 & 0 & 6 & 12 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 6 & 8 & 10 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns A núnd B einmal genauer an:

Die mittlere Zeile bleibt gleich, auf dieser wird also scheinbar nicht operiert.

die erste Zeile von B ist das 6-fache der dritten Zeile von A

die dritte Zeile von B ist das 1-fache der ersten Zeile von A addiert zu dem 1-fachen der zweiten Zeile von A.

Nun betrachtet man die Elmentarmatrizen und ihre "wirkung":

$\begin{eqnarray*} P_{ij} \end{eqnarray*}$ vertauscht zwei Zeilen (Zeile i mit Zeile j)

$\begin{eqnarray*} D_i(r) \end{eqnarray*}$ erzeugt ein Vielfaches einer Zeiler, das r-fache der i-ten Zeile

$\begin{eqnarray*} T_{ij}(r) \end{eqnarray*}$ addiert das r-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile.

Man kann also die Operationen in Matrizen übersetzen......

09.10.2012, 20:08

123test

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ok massage ist angekommen!

09.10.2012, 21:35

lgrizu

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Zitat:

Original von 123test
ok massage ist angekommen!

verwirrt

09.10.2012, 22:28

123test

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message wollte ich schreiben! tipfehler !
also "nachricht"! wollte damit ausdrücken das ich glaube, das ich es verstanden habe!
ich danke dir für deine mühe!!!danke danke danke bin froh das es jemanden wie dich hier her verschlägt!!!!!
und ich weiss ich bin etwas (viel) stressig und kapier etwas langsamer! sorry dafür Big Laugh

Big Laugh

10.10.2012, 08:38

lgrizu

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Für Verständnisschwierigkeiten muss man sich nicht entschuldigen, das kommt bei jedermann vor.

Wenn du noch Fragen hast, jederzeit gerne wieder Wink

Wink

10.10.2012, 12:34

123test

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ich bin ehrlich , ich hab erst angefangen zu fragen! das nächste kapitel ist treppennormalform erzeugen!brauch da sicherlich einen guten Lehrer

Lehrer

der mir einige grundlagen etwas näher bringt!
bin froh das mir angeboten wird weitere fragen stellen zu dürfen!
danke !

16.10.2012, 23:47

123test

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so hab hier ein problem wo ich nicht weiter kommen!
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ soll ich als produkt elementarmatrizen schreiben!

ich hab P23 als erstes gemacht! und es kommt raus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich die 1 zeile auf die 3 gerechnet $\begin{eqnarray*} T_{31}(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich die 2 zeile durch 2 geteilt ( da hab ich auch grad ne frage dazu könnte ich auch durch einen bruch teilen? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bzw wie drücke ich jetzt $\begin{eqnarray*} D_{2} \end{eqnarray*}$ aus? $\begin{eqnarray*} D_{2}(2) \end{eqnarray*}$ bedeutet ja das man die 2 zeile mit 2 multipliziert! ich möchte aber dividieren wird in meinem skript nicht erklärt!)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun als nächstes 3 zeile auf die 2 addiert $\begin{eqnarray*} T_{23}(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich die erste zeile mit -1 multipliziert $\begin{eqnarray*} D_{1}(-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als letzter schritt 2*3 zeile auf 1 $\begin{eqnarray*} T_{13}(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ich bekomme aber wenn ich $\begin{eqnarray*} T_{13}(2) *D_{1}(-1)*T_{23}(-1) *D_{2}(\frac{1}{2})* T_{31}(1) * P_{23} \end{eqnarray*}$ =A nicht als ergebnis!!
was mache ich falsch???

18.10.2012, 09:49

123test

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bitte nochmal um hilfe

T13(2) ist falsch es muss T13(-2) heissen!! aber es past immer noch net

18.10.2012, 09:51

123test

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$\begin{eqnarray*} T_{13}(-2) *D_{1}(-1)*T_{23}(-1) *D_{2}(\frac{1}{2})* T_{31}(1) * P_{23} \end{eqnarray*}$

18.10.2012, 10:00

lgrizu

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Also zuerst einmal habe ich das nicht vollständig nachgerechnet, aber eine grundlegende Sache fällt mir auf:

Wir haben im ersten Schritt:

$\begin{eqnarray*} A \cdot P_{23}=B \Rightarrow A = B \cdot P_{23}^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir A als Produkt einer Elementarmatrix mit einer Matrix B dargestellt.

Jetzt machen wir wieter:

$\begin{eqnarray*} B \cdot T_{31}=C \Rightarrow B=C \cdot T_{31}^{-1} \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} A=C \cdot T_{31}^{-1} \cdot P_{23}^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man so weiter verfährt und du alles richtig gerechnet hats sollte man erhalten:

$\begin{eqnarray*} A=T_{13}(2)^{-1} \cdot D_1(-1)^{-1} \cdot T_{23}(-1)^{-1} \cdot D_2 \left( \frac{1}{2} \right) ^{-1} \cdot T_{31}(1)^{-1} \cdot P_{23}^{-1} \end{eqnarray*}$

18.10.2012, 10:39

123test

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sozusagen muss ich die inverse nehmen! werde es heute abend durchrechnen und mich melden!

18.10.2012, 19:54

123test

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komme einfach nicht aufs richtige ergebnis!
egal wie ichs mach!

18.10.2012, 23:19

lgrizu

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Okay, ich rechne das einmal nach und schaue mal, was schief gelaufen ist, Poste du bitte einmal dein bisheriges Ergebnis, damit man das dann vergleichen kann.

Mache ich aber nicht mehr heute Abend, dazu ist mir Matrizenrechnung etwas zu rechenaufwendig und ich habe kein geeignetes Programm dafür....

18.10.2012, 23:38

123test

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danke dir!!!!!
welches ergebnis möchtest du haben, hab hier 4 oder 5 din a4 seiten was ich alles gerchnet habe ! nicht das du denkst ich leg mich auf die faule haut!
ein ergebnis habe ich auch schon bekommen! möchte allerdings es selber herausfinden und das prinzip verstehen!

ist den die vorgehensweise die ich an den tag gelegt habe grundsätzlich richtig?

also A*Im solange umformen bis Im*b rauskommt und dann die einzelnen schritte in Pij*Tij(r)*Di(r) übertragen! wird es generell so gemacht??
mein lernkollege hat einen anderen weg gewählt deshalb frage ich!
er ist direkt von Im ausgegangen hat diese solange umgeformt bis die matrix A rauskommt! die schritte die er macht überträgt er dann einfach nur noch in Pij*Tij(r)*Di(r)( natürlich der reihenfolge enstprechend!
laut google sollte es aber auf meinem weg auch funktionieren!

19.10.2012, 09:12

lgrizu

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Okay, dub hast zum Beispiel hier:

Zitat:

ich hab P23 als erstes gemacht! und es kommt raus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 &-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die zweite und die dritte Zeile getauscht, allerdings hast du das Matrixprodukt nicht ausgerechnet, sondern einfach getauscht, ansonsten wäre die Aufgefallen, dass die Matrix von links an A heranmultipliziert werden muss,

also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1&0&2\\0&2&2\\1&2&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wohingegen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&2&0\\0&2&2\\1&-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also deine Multiplikation vertauscht nicht die 2. und die dritte Zeile sondern die zweite und die dritte Spalte !!!

So, nun haben wir aber eigentlich alles zusammen, zum kontrollieren:

Ich habe (ohne gewähr)

$\begin{eqnarray*} D_2 \left(\frac{1}{2} \right) \cdot D_1(-1) \cdot T_{13}(-2) \cdot T_{23}(-2) \cdot P_{23} \cdot T_{21}(1) \cdot A=I \end{eqnarray*}$

Nun kann man von links jeweils die Inversen dranmultiplizieren!

Beide Wege sind auf alle Fälle richtig, man kann entweder I so lange umformen, bis man A hat oder A so lange umformen, bis man I hat, das ist Schnuppe, wie groß welcher Rechenaufwand ist kann ich nicht sagen.

19.10.2012, 21:56

123test

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ich zeige mal meinen rechenweg komplett!
part 1 ist nur zur berechnung der einheitsmatrix! sonst nichts!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeile 2 und 3 werden getauscht ( da hab ich noch nichts multipliziert )
es entsteht Pij=P23

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann hab ich die 1 zeile auf die 3 gerechnet Tij(r)=T31(1)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann hab ich die 2 zeile durch 2 geteilt Di(r)=D2(1/2)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
-1* 3 zeile auf die 2 addiert T23(-1)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann hab ich die erste zeile mit -1 multipliziert Di(r)=D1(-1)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
als letzter schritt 2*3 zeile auf 1 Tij(r)=T13(2)

das war unser schritt um von A ausgehend die einheitsmatrix zu berechnen ! es geht nicht um die inverse der matrix A!
$\begin{eqnarray*} T_{13}(2) *D_{1}(-1)*T_{23}(-1) *D_{2}(\frac{1}{2})* T_{31}(1) * P_{23} \end{eqnarray*}$ hab ich mit matrizenrechner überprüft und es kommt die einheitsmatrix raus!

nun dachte ich das das wenn ich $\begin{eqnarray*} T_{13}(2) *D_{1}(-1)*T_{23}(-1) *D_{2}(\frac{1}{2})* T_{31}(1) * P_{23} \end{eqnarray*}$ (rückwärts von links addiert) zusammen addiere ich wieder zu A komme! da liegt auch der fehler, so funktioniert das bei mir nicht! auch die inversen von $\begin{eqnarray*} T_{13}(2) *D_{1}(-1)*T_{23}(-1) *D_{2}(\frac{1}{2})* T_{31}(1) * P_{23} \end{eqnarray*}$ bringen nicht das erwünschte ergebnis A!

ich wollte mir den weg ersparen ausgehend von der einheitsmatrix A zu finden!
für mich ist das wie puzzeln! nicht meine art und weise matheaufgaben zu lösen!
fällt mir schwer!
fals möglich berechne ich das ergebnis lieber !

igrizu danke Freude

Freude

dir für deine hilfestellung aber wie hast du das berechnet?
ich möchte gern den weg lernen traurig

traurig

21.10.2012, 01:06

lgrizu

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Zitat:

Original von 123test
ich zeige mal meinen rechenweg komplett!
part 1 ist nur zur berechnung der einheitsmatrix! sonst nichts!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeile 2 und 3 werden getauscht ( da hab ich noch nichts multipliziert )
es entsteht Pij=P23

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und genau da liegt das Problem, vielleicht solltest du einmal multiplizieren, einfach zwei Zeilen vertauschen und hoffen, die Matrixmultiplikation tut das auch ist nicht der richtige Weg.

Lies meinen letzte Post noch mal aufmerksam durch, dann kommst du daraus, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} P_{23} \end{eqnarray*}$ von links an A heranmultiplizeirt werden muss.

Also: Multiplikation von Links führt Zeilenoperationen durch, Multiplikation von rechts Spaltenoperationen.

Du operierst also auf den Spalten mit deiner Matrixmultiplikation, aber tust so, alos wären das Zeilenoperationen, das geht so nicht...

Also: Multiplikation von links!!!!

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