Primfaktoren-Beweis

07.10.2012, 23:41	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Primfaktoren-Beweis Ich denke schon, dass dieser Beweis vollständig ist, dennoch frage ich lieber nach, bevor ich ihn "archiviere". Man beweise: Ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ein Primfaktor von $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ natürliche Zahlen sind, so ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ auch ein Primfaktor von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Ich versuche, den Beweis indirekt zu führen. Es ist $\begin{eqnarray} n = q_1 \cdot ... \cdot q_m \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} q_1, ..., q_m \end{eqnarray}$ prim sei. (Primfaktorzerlegung) Angenommen, $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist nicht Primfaktor von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Folglich gilt $\begin{eqnarray} p \neq q_i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \in \mathbb N, m \geq i \geq 1 \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} n^k = q_1^k \cdot ... \cdot q_m^k = (\underbrace{q_1 \cdot q_1 \cdot ... \cdot q_1}_{k \text{mal}}) \cdot ... \cdot (\underbrace{q_m \cdot q_m \cdot ... \cdot q_m}_{k \text{mal}}) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Primfaktor von $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ ist, teilt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ . Folglich teilt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ einen der Faktoren der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ . Allerdings gilt $\begin{eqnarray} p \neq q_i \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} p \neq 1 \end{eqnarray}$ , woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_i \end{eqnarray}$ nicht teilt, da $\begin{eqnarray} q_i \end{eqnarray}$ prim ist. Folglich teilt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ , was einen Widerspruch zur Annahme, dass $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Primfaktor von $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ ist, darstellt. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ muss also Primfaktor von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sein - Dies galt es zu beweisen. Kann man das soweit so stehen lassen?
07.10.2012, 23:54	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, aber die Formulierung über einen Widerspruch brauchst Du hier nicht. Du kannst denselben Weg, den Du gegangen bist als direkten Beweis formulieren.
07.10.2012, 23:56	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Vielen Dank für die Antwort!

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