Elementarteiler

08.10.2012, 00:05	Marielle	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementarteiler Guten Abend, ich knabbere gerade an Elementarteilerberechnung folgender Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x+7 & 6 & -4 \\ -9 & x-8 & 6 \\ -9 & -9 & x+7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß mit der Regel von Sarrus (und durch Arndt Brunner ), dass das char. Polynom so aussieht: (x+1)(x+1)(x+4) Und weiß auch, durch irgendeine Regel die unsere Tutorin benutzt hat, dass die Invteiler so aussehen 1 \| x+1 \| (x+1)(x+4) Allerdings schaffe ich es einfach nicht eine 1 zu erzeugen, die ich dann nach oben links tauschen könnte. Hat eventuell jemand eine Idee? Danke schonmal. Edit (jester): Tippfehler wie gewünscht behoben.*
08.10.2012, 08:19	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an wir rechnen über einem Polynomring $\begin{eqnarray} K[x] \end{eqnarray}$ über einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Dann hast du aber Elemente aus $\begin{eqnarray} K^ \end{eqnarray}$ in deiner Matrix stehen, und die sind Gold wert. Tausche zum Beispiel die erste und zweite Zeile und dividiere dann die neue erste Zeile durch $\begin{eqnarray} -9 \end{eqnarray*}$ .
08.10.2012, 09:36	Marielle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich darf eine Zeile einfach durch irgendwas dividieren? Sind das denn dann noch Äquivalenzumformungen? Ich probier das mal, verstehe aber nicht, wieso ich das darf oder was ich mit der rausdividierten 9 machen muss. duck Liegt wohl daran, dass 9 in R eine Einheit ist, nicht? $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \begin{pmatrix} x+7 & 6 & -4 \\ -9 & x-8 & 6 \\ -9 & -9 & x+7 \end{pmatrix}<br /> <br /> Tauschen von 1. und 2. Zeile:<br /> <br /> \begin{pmatrix} -9 & x-8 & 6 \\ x+7 & 6 & -4 \\ -9 & -9 & x+7 \end{pmatrix}<br /> <br /> Dividieren durch 9<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & (x-8)/9 & 6/9 \\ (x+7) & 6 & -4 \\ -9 & -9 & x+7 \end{pmatrix}<br /> <br /> Eliminiere die Zahlen unter der -1<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & (x-8)/9 & 6/9 \\ 0 & 6+(x+7)(x-8)/9 & -4+(6/9)(x+7) \\ 0 & -9-(x-8) & x+7-6 \end{pmatrix}<br /> <br /> Streiche das rechts von der -1<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 6+(x+7)(x-8)/9 & -4+(6/9)(x+7) \\ 0 & -9-(x-8) & x+7-6 \end{pmatrix}<br /> <br /> Multipliziere erstmal aus<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & (x-8)/9 & 6/9 \\ 0 & (xx)/9 -x/9 -2/9 & (6/9)x+4/9 \\ 0 & -x-1 & x+1 \end{pmatrix}<br /> <br /> Tausche 2- und 3. Zeile<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -x-1 & x+1 \\ 0 & (xx)/9 -x/9 -2/9 & (6/9)x+4/9 \end{pmatrix}<br /> <br /> eliminiere erstmal nach rechts sieht irgendwie leichter aus <br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -x-1 & 0 \\ 0 & (xx)/9 -x/9 -2/9 & (6/9)x+4/9+(xx)/9 -x/9 -2/9 \end{pmatrix}<br /> <br /> Jetzt nach unten<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -x-1 & 0 \\ 0 & 0 & (6/9)x+4/9+(xx)/9 -x/9 -2/9 \end{pmatrix}<br /> <br /> Ausmultiplizieren<br /> <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -x-1 & 0 \\ 0 & 0 & (xx)/9 +(5x)/9 +2/9 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Das stimmt nun leider nicht.. Ich probiers nochmal, aber poste das hier auch, falls jemand den fehler sieht.
08.10.2012, 09:48	Marielle	Auf diesen Beitrag antworten »
So, Fehler gefunden, ich habe beim Schritt Multipliziereerstmalaus 2/9 verloren Die Matrix sieht nach dem ersten ausmultiplizieren so aus: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & xx/9-x/9-2/9 & 6x/9+6/9\\ 0 & -x-1 & x+1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Damit sieht es am Ende mit den Elementarteilern so aus: -1 \| -x-1 \| 1/9(x+4)(x+1) Da die nur bis auf Eimnheiten eindeutig sind.. und wir uns ja in R befinden; ist das auch das richtige ergebnis? Es hat die selben Nullstellen aber es ist nicht normiert.
08.10.2012, 13:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist immer noch die Erkörung schuldig geblieben, über welchem Ring du eigentlich rechnest. In der Tat sind Elementarteiler nur bis auf Assoziiertheit (Multiplikation mit Einheiten) eindeutig, also darfst du jeden Elementarteiler mit einer Einheit deines Rings multiplizieren, ohne das Ergebnis zu ändern. Was die Einheiten sind, hängt davon ab, in welchem Ring du rechnest.
08.10.2012, 21:41	Marielle	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix stellt einen R-VR-Endo von R³ nach R³ dar. Damit wäre eine richtige antwort auf die Frage nach den Elementarteilern also auch: 3642^75,82 \| 0,00002(x+1) \| (x+1)(x+4)3 Ja?
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08.10.2012, 21:46	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Aber üblich ist natürlich die normierte Variante.

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