stabil oder Asymptotisch Begründung korrekt?

08.10.2012, 10:56

slaight

stabil oder Asymptotisch Begründung korrekt?

Meine Frage:
Ich habe folgende Matrix A gegeben :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & \pi \\ 7 & -1 & 8 \\ - \pi & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Frage ist , ob sie stabil oder gar asymptotisch stabil ist.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
charakteristisches Polynom bilden:
$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = (-1- \lambda )^3 - (- \pi * \pi * (-1- \lambda) = - \lambda^3 -3 \lambda^2 -4 \lambda -1 - \pi^2 \end{eqnarray*}$

Für lambda gegen unendlich geht p gegen -unendlich, für lambda gegen -unendlich gegen unendlich.
Da die Funktion stetig ist und p(0) negativ ist, liegt die Nullstelle im negativem Bereich. Daraus folgt, dass die Matrix asymptotisch stabil ist.

Ich würde gern wissen, ob die Begründung so korrekt ist, da die Nullstellen des Polynoms hier nicht so leicht berechenbar sind.

08.10.2012, 10:58

Monoid

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RE: stabil oder Asymptotisch Begründung korrekt?
Die Nulltellen kannst du mit der cardanischen formel berechnen.

08.10.2012, 11:10

Mazze

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Manchmal ist es hilfreich die Terme nicht auszurechnen. Etwa:

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda)^3 + \pi^2(-1-\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$

Formuliert man den Term etwas um erhält man

$\begin{eqnarray*} ((-1-\lambda)^2 + \pi^2)(-1-\lambda) = 0 \end{eqnarray*}$

Den ersten Faktor löst man mit pq-Formel den Zweiten sieht man sofort.

08.10.2012, 11:37

slaight

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Ok, danke!
Die cardanische Formel hatten wir bisher nicht in einer Vorlesung.

Man kann auch das ganze zu
$\begin{eqnarray*} (-1- \lambda)* (\lambda^2 + 2 \lambda +1 + \pi^2) \end{eqnarray*}$

weiter formen und man sieht, dass nur -1 eine Nullstelle sein kann.

edit: hatte im 1.Post ein Rechenfehler, sodass das Polynom falsch war.

08.10.2012, 12:01

Mazze

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Zitat:

edit: hatte im 1.Post ein Rechenfehler, sodass das Polynom falsch war.

Die Regel von Sarrus hast Du richtig angewendet. Das charakteristische Polynom ist tatsächlich

$\begin{eqnarray*} (-1-\lambda)^3 + \pi^2(-1-\lambda) \end{eqnarray*}$

und wir haben richtigerweise nur eine Nullstelle. Insofern alles in ordnung.

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