schwaches Gesetz der großen Zahlen Klausuraufgabe

08.10.2012, 11:41

mattu

schwaches Gesetz der großen Zahlen Klausuraufgabe

Hallo an Alle !
Ich sitz schon seit Ewigkeiten an einer Aufgabe aus meiner letzten Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie:

Sei $\begin{eqnarray*} (X_{n})_{n \in N} \end{eqnarray*}$ eine Folge von Zufallsvariablen, sodass gilt:
Alle $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ haben den selben Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E [X_n] = a \in R \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} n, m \in N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} Cov (X_n, X_m) \left\{\begin{array}{cl} \leq 7 , & \mbox{falls } |n - m| \leq 5 \\ =0, & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Folge einem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügt!

Ich hab ehrlich gesagt, überhaupt keine Ahnung, wie ich hier zum Ziel kommen soll.
Meine erste Idee war, die Folge in 6 Teilfolgen zu zerlegen, sodass für alle Folgeglieder der Teilfolgen gilt $\begin{eqnarray*} Cov(X_n, X_m) = 0, \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n, m \end{eqnarray*}$ .
Aber irgendwie komm ich da nicht weiter.
Desweiteren hab ich versucht, irgendwie rauszufinden, ob die einzelnen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ die gleiche Varianz haben. Aber selbst das krieg ich nicht hin.
Ich bräuchte irgendeinen Ansatz zur Lösung.

Danke für eure Hilfe.

08.10.2012, 11:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von mattu
Meine erste Idee war, die Folge in 6 Teilfolgen zu zerlegen, sodass für alle Folgeglieder der Teilfolgen gilt $\begin{eqnarray*} Cov(X_n, X_m) = 0, \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n, m \end{eqnarray*}$ .
Aber irgendwie komm ich da nicht weiter.

Wo klemmt's denn da? Denn an sich ist das eine gute Idee, die auch zum Erfolg führt.

08.10.2012, 12:55

mattu

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Vielen dank für deine so schnelle Antwort
ich habe jetzt nochmal versucht, über den Ansatz mit den Teilfolgen zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} X_{1,n} = X_1, X_7, X_{13} ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_{2,n} = X_2, X_8, X_{14} ... \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} X_{6,n} = X_6, X_{12}, X_{18} ... \end{eqnarray*}$

Dann gilt für jede Teilfolge $\begin{eqnarray*} (X_i)_{i \in [1,6]} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Cov(X_{i,n}, X_{i,m}) = 0 \ \forall n, m \in N \end{eqnarray*}$

Nachdem ich jetzt noch ein bisschen nachgelesen hab, ist mir aufgefallen, dass nirgendwo steht, dass $\begin{eqnarray*} n \neq m \end{eqnarray*}$ sein muss. Also gilt dann ja auch:

$\begin{eqnarray*} Cov(X_{i,n}, X_{i,n}) = Var(X_{i,n}) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann gezeigt, dass alle $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ die gleiche Varianz besitzen, und die Teilfolgen würden alle dem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügen.

Wie kann man denn jetzt darauf schließen, dass das auch für die ursprüngliche Folge gilt?

08.10.2012, 13:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von mattu
Nachdem ich jetzt noch ein bisschen nachgelesen hab, ist mir aufgefallen, dass nirgendwo steht, dass $\begin{eqnarray*} n \neq m \end{eqnarray*}$ sein muss.

Das ist dann einfach vergessen worden. Insofern gilt dies hier NICHT:

Zitat:

Original von mattu
$\begin{eqnarray*} Cov(X_{i,n}, X_{i,n}) = Var(X_{i,n}) = 0 \end{eqnarray*}$

Muss es ja auch gar nicht, denn aus deinen anderen Voraussetzungen folgt ja

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X_{i,n}) \leq 7 \end{eqnarray*}$

und damit gleichmäßige Beschränktheit aller Varianzen - das reicht ja auch.

08.10.2012, 13:19

mattu

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Stimmt, das gilt ja wirklich nicht.

Aber reicht es dann einfach zu sagen, dass wenn die Teilfolgen dem schwachen
Gesetz der großen Zahlen genügen, dass die Gesamte Folge das auch tut?
Anschaulich ist das denn ja klar: Wenn die 6 Teilfolgen in Wahrscheinlichkeit gegen
den gleichen Wert konverieren, dass müsste das eine Folge aus den 6 Teilfolgen ja
auch tun.

Muss ich da noch etewas beweisen, oder reicht es, wenn man das so begründet?

08.10.2012, 14:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von mattu
Muss ich da noch etewas beweisen, oder reicht es, wenn man das so begründet?

Es ist sicherer, wenn du es beweist. Das ganze geht basierend auf

$\begin{eqnarray*} \bar{X}_{6n+j} = \frac{1}{6n+j} \left( \sum_{i=1}^j (n+1)\bar{X}_{i,n+1} + \sum_{i=j+1}^6 n\bar{X}_{i,n} \right) \end{eqnarray*}$

für beliebige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq 6 \end{eqnarray*}$ . Anschließend muss dann (halbwegs) geschickt mit der Satzaussage des schwachen GGZ sowie der Dreiecksungleichung hantiert werden, aus letzterer folgt nämlich

$\begin{eqnarray*} \left| \bar{X}_{6n+j}-a \right| \leq \frac{n+1}{6n+j} \sum_{i=1}^j \left| \bar{X}_{i,n+1} - a \right| + \frac{n}{6n+j} \sum_{i=j+1}^6 \left| \bar{X}_{i,n} - a \right| \leq \frac{1}{3} \sum_{i=1}^6 \left| \bar{X}_{i,n+1_{i\leq j}} - a \right| \end{eqnarray*}$ .

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