Abbildungen finden, notieren und beweisen

08.10.2012, 14:12

Streusselhirni

Abbildungen finden, notieren und beweisen

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich hänge mal wieder an zwei Aufgaben der linearen Algebra fest. Ich werde zuerst mal die Aufgaben hinschreiben und dann weitererzählen:

1)
a)
Sei $\begin{eqnarray*} X = \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y = \left\{ \frac{1}{n}|n \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ . Finde eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ , die (i) bijektiv, (ii) injektiv und (iii) surjektiv aber nicht injektiv ist.
b)
Finde eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray*} g: \mathbb Z \to \mathbb N \end{eqnarray*}$

2)
a)
Beweise: Sind $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: Y \to X \end{eqnarray*}$ Abbildungen mit $\begin{eqnarray*} (g \circ f) = id_X \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv.
b)
Folgere aus a), dass eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, genau dann, wenn es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g: y \to X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} (g \circ f) = id_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f \circ g) = id_Y \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Grundsätzlich habe ich zwei (wie man's nimmt auch drei) Probleme bei diesen Aufgaben. Das erste wäre, wie ich denn gefundene Abbildungen notieren muss.

Zu sehen ist dies bei Aufgabe 1):
Ich dachte mir, dass eine Lösung dazu $\begin{eqnarray*} f:X \to Y, x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ wäre (die bijektive Lösung). Jetzt erstens: ist die Lösung überhaupt korrekt und zweitens, noch viel wichtiger für mich: ist die Notation so korrekt? Sollte diese Lösung korrekt sein, frage ich mich aber, wie ich andere Abbildungen finden soll, wo doch X und Y vorgegeben sind?

Bei Aufgabe 2) habe ich aber ehrlich gesagt keine Ahnung... Ich bin die Vorlesungsnotizen auch nochmals durchgegangen:
Ich weiss, was injektiv, surjektiv und bijektiv heisst,
ich weiss auch, dass $\begin{eqnarray*} g \circ f = g(f(x)) \end{eqnarray*}$ bedeutet,
ich weiss ebenso, dass mi $\begin{eqnarray*} (g \circ f) = id_X \end{eqnarray*}$ gemeint ist, dass $\begin{eqnarray*} g(f(x))= x \in X \end{eqnarray*}$ , also, dass $\begin{eqnarray*} g(f(x)) \end{eqnarray*}$ eine identische Abbildung für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gemeint ist.
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich diese beiden Behauptungen beweisen soll...

Ich wäre um jede Hilfe froh.

08.10.2012, 14:31

Mazze

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Zitat:

Jetzt erstens: ist die Lösung überhaupt korrekt und zweitens, noch viel wichtiger für mich: ist die Notation so korrekt?

Sowohl Notation als auch Lösung ist richtig. Allerdings solltest Du doch sicher auch Beweisen dass die Funktion bijektiv ist oder?

Zitat:

wo doch X und Y vorgegeben sind?

Mir ist nicht ganz klar was Du meinst. X ist der Urbildraum (Definitionsbereich) und Y ist der Bildraum (Wertemenge). Was ist genau dein Problem?

2 a)

Wir nehmen also an dass $\begin{eqnarray*} ( g \circ f ) = Id_x \end{eqnarray*}$

Was ist wenn Du mal

$\begin{eqnarray*} f(g(x)) = f(g(y)) \end{eqnarray*}$

betrachtest? Nutze die Voraussetzung, dann steht die injektivität fast schon da Augenzwinkern

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