Betragsungleichung - untere Dreiecksungleichung?

08.10.2012, 14:35	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung - untere Dreiecksungleichung? Hi Wir sollen die folgende Ungleichung lösen: Für welche x in R gilt: $\begin{eqnarray} \| x - 2 \| \geq \| x \| -2 \end{eqnarray}$ Der Hilfsassi hat uns gesagt, wir könnten dies mit vier Fallunterscheidungen lösen. Ich habe mich gefragt, ob das nicht auch intelligenter geht. Mein Vorgehen wäre nämlich so: Für $\begin{eqnarray} \| x \| \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt doch hier die untere Dreicksungleichung weil dann abs(x) -2 <-> abs(abs(x)-2) ist. Wenn hingegen abs(x) < 2 dann ist die rechte Seite sowieso kleiner als die Linke. Somit ist die Ungleichung mMn für alle x erfüllt. Stimmt meine Begründung? Ginge das ev. auch formaler? Vielen Dank
08.10.2012, 14:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat folgt aus $\begin{eqnarray} \|\|a\|-\|b\|\| \leq \|a-b\| \end{eqnarray}$ (das, was du als untere Dreiecksungleichung bezeichnet hast) direkt, dass die Ungleichung für alle x gilt.
08.10.2012, 14:49	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke tmo! Aber die ursprüngliche Ungleichung enspricht ja nicht dieser unteren Dreiecksungleichung, also ist die Fallunterscheidung meinerseits doch nötig?
08.10.2012, 14:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der äquivalent umgestellten Ungleichung $\begin{eqnarray} \|x-2\| + 2 \geq \|x\| \end{eqnarray}$ kann man auch sofort die (Original-)Dreiecksungleichung ansehen.
08.10.2012, 14:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein man braucht gar keine Fallunterscheidung. $\begin{eqnarray} \|\|x\|-2\| \leq \|x-2\| \end{eqnarray}$ folgt aus der unteren Dreiecksungleichung. Dies zeigt aber die Behauptung, denn $\begin{eqnarray} \|x\|-2 \leq \|\|x\|-2\| \end{eqnarray}$ gilt sowieso. (Eine Zahl ist immer kleiner als ihr Betrag)
08.10.2012, 15:04	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke Jungs!!
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