Multiplikative und additive Inverse

08.10.2012, 15:19

Rubin

Multiplikative und additive Inverse

Hallo!

Kann mir bitte jemand erklären,wie man die additive und multiplikative Inverse berechnet?

(z.B. von $\begin{eqnarray*} z= 7+ 3i \end{eqnarray*}$ )

08.10.2012, 15:25

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Sofern Du in den komplexen Zahlen bist geht das wie auch im reellen. Das additive Inverse ist eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} a + bi \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} 7 + 3i + a + bi = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist denkbar einfach. Für das multiplikaitve Inverse gilt

$\begin{eqnarray*} z*z^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ nach den üblichen Regeln ist $\begin{eqnarray*} z^{-1} = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ Du musst die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ lediglich in der Form $\begin{eqnarray*} a + bi \end{eqnarray*}$ darstellen.

08.10.2012, 15:42

Rubin

Auf diesen Beitrag antworten »

hey, danke für die schnelle Antwort.

also muss ich bei der additiven Inverse $\begin{eqnarray*} 7+3i+a+bi=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auflösen? Also $\begin{eqnarray*} a=-7 \end{eqnarray*}$ un $\begin{eqnarray*} b= -3 \end{eqnarray*}$ .

Nur hab ich noch ne Frage zur multiplikativn Inverse:
Mein Übungsleiter hat und die Lösung dazu gegeben und das ist etwas anders als du es erklärt hast.
Also:
$\begin{eqnarray*} (7+3i) * (a+bi)= 7+3i = (7a-3b) + i*(7b+3a)= 7+3i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7a-3b=7 \wedge 7b+3a=3 \end{eqnarray*}$

ist aus auch richtig? & kann man das immer so berechnen?

Grüße

08.10.2012, 15:47

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ist aus auch richtig? & kann man das immer so berechnen?

Grundsätzlich gilt, dass das multiplikative Inverse eindeutig ist. Sprich, egal welchen Weg Du verfolgst Du kommst immer auf das gleiche Ergebniss (sofern du korrekt rechnest Augenzwinkern

). Abgesehen davon ergeben Teile deiner Gleichungskette wenig Sinn. Etwa die erste Umformung :

$\begin{eqnarray*} (7 + 3i)*(a + bi) = 7 + 3i \end{eqnarray*}$

ist für das mutliplikative Inverse nicht zielführend. Andererseits machst Du danach korrekte Umformungen, nämlich

$\begin{eqnarray*} (7 + 3i)*(a + bi) = 7*a - 3*b + i(3a + 7b) \end{eqnarray*}$

Der Gleichungsschritt danach ergibt wieder keinen Sinn. Zudem ist

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7a-3b=7 \wedge 7b+3a=3 \end{eqnarray*}$

falsch, richtiger Weise sollte es

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7a-3b=1 \wedge 7b+3a=0 \end{eqnarray*}$

heissen, da wir ja eine Zahl (a + bi) suchen, so dass $\begin{eqnarray*} (7 + 3i)*(a + bi) = 1 + 0i \end{eqnarray*}$ ist (Definition des Inversen).

Das lineare Gleichungssystem

7a - 3b = 1
7b + 3a = 0

kannst Du leicht für a,b lösen und erhältst so deine Inverse.

08.10.2012, 16:09

Rubin

Auf diesen Beitrag antworten »

Lag am Übungsleiter, wenn er es falsch erklärt, kein Wunder, wenn das niemand kapiert..

Aber vielen Dank für die Erklärung, hab es nun verstanden smile

Beste Grüße
Rubin

Neue Frage »

Antworten »

Multiplikative und additive Inverse

Verwandte Themen