Polynominterpolation (richtige Schreibweise/Definition)

08.10.2012, 16:11

akvarel

Polynominterpolation (richtige Schreibweise/Definition)

Hallo!
Ich habe ein kleines Denkproblem.Ich kenn den Unterscheid zw. Newtonsche Interpolationsformel und dividierten Differenzen und wie man richtig die Lagrang- und Newtondarstellung angibt. In wikipedia wird alles zu Monombasis ausgeklammert, obwoh da Newton(p) steht.

Ich muss das zugehörige Interpolationspolynom bestimmen. Dazu muss ich die Lagrangdarstellung, die Newtondarstellung (einmal mit der Newtonschen Interpolationsformel, einmal mit dividierten Differenzen, einmal mit Neville-Aitken) und die Darstellung bezüglich der Monombasis angeben.

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} x_{0} =-1, x_{1} =0, x_{2} =2 y_{0} =-2, y_{1} =1, y_{2} =4 \end{eqnarray*}$

Lagrangedarstellung:

L1(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x}{-1} * \frac{x-2}{-1-2}=\frac{(x*(x-2))}{3} \end{eqnarray*}$

L2(x)= $\begin{eqnarray*} x+1 * \frac{x-2}{-2} =\frac{(x+1)(x-2)}{-2} \end{eqnarray*}$

L3(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{3} * \frac{x}{2} = \frac{(x+1)*x}{6} \end{eqnarray*}$

Lagrangedarstellung: $\begin{eqnarray*} \frac{x*(x-2)}{3} * -2 + \frac{(x+1)(x-2)}{-2} *1 + \frac{(x+1)*x}{6} *4 \end{eqnarray*}$

Zugehöriges Monombasis: $\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{2} + \frac{5x}{2} -1 \end{eqnarray*}$

Ist die Langrangedarstellung richtig? Ich meine, muss man es genau so angeben, ohne es auszuklammern?

Dividierte Differenzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r|r||r|r|} \hline x_{i} & y_{i} & k=1 & k=2 \\ \hline -1 &-2 & & \\ \hline 0 & 1 &\frac{1-(-2)}{0-(-1)}=3 & \\ \hline 2 & 4 & \frac{4-1}{2-0}=3/2 & \frac{3/2-3}{2+1}=-1/2 \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Newtondarstellung: $\begin{eqnarray*} -2 +3(x+1)-\frac{1}{2}*(x+1)*x \end{eqnarray*}$
Und wieder ist das zugehörige Monombasis: $\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{2} + \frac{5x}{2} -1 \end{eqnarray*}$

Die Newtondarstellung muss nicht ausgeklammert werden oder?

Neville-Aitken:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r|r||r|r|} \hline x_{i} & y_{i} & k=1 & k=2 \\ \hline -1 & -2 & & \\ \hline 0 &1 & \frac{(x+1)*1 - (x-0)*-2}{0+1}=3x+1 & \\ \hline 2 & 4 & \frac{(x-0)*4-(x-2)*1}{2-0}=\frac{3x+2}{2} & \frac{(x+1)*\frac{3x+2}{2} - (x-2)*(3x+1)}{2+1}=\frac{-3x^2+15x+6}{6} \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Und wir können wieder die Newtondarstellung ablesen: $\begin{eqnarray*} -2 +3*(x+1)-\frac{1}{2}*(x+1)*x \end{eqnarray*}$

Ist der Rechnungsweg richtig?

Und was ist dann die Newtonsche Interpolationsformel ??

Ich würde mich freuen wenn mir jemand Bescheid sagt, ob die Schreibweise/Definitionen stimmen (weil in Wikipedia wird alles ausgeklammert und wird Newtondarstelung gennant) und was ist die Newt. Interpolationsformel.

Vielen vielen Dank im Voraus.

Grüße,
akvarel

08.10.2012, 17:38

Math1986

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)
Hallo,
Zur Aufgabe: Irgendwas stimmt da im Endergebnis nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{2} + \frac{5x}{2} -1 \end{eqnarray*}$
Zumindest wenn ich da den Stützpunkt 0 einsetze komme ich nicht auf 1. unglücklich

Newton-Darstellung scheint zu stimmen, rechne aber lieber nochmal nach.

Zur Frage: Im Endergebnis kommst du zu jeder belieigen Basis auf das selbe Ergebnis, das folgt schon aus der Eindeutigkeit des interpolationspolynoms. Wenn da steht, dass du die verschiedenen Darstellungen angeben sollst, dann sollst du es auch in genau der Form, als Linearkombination der jeweiligen Basiselemente, machen.

Die Newton-Darstellung bezeichnet dementsprechend dann die Darstellung als Linearkombination der Newton-Basiselemente.

08.10.2012, 18:06

akvarel

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)

Zitat:

Original von Math1986
Hallo,
Zur Aufgabe: Irgendwas stimmt da im Endergebnis nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{2} + \frac{5x}{2} -1 \end{eqnarray*}$
Zumindest wenn ich da den Stützpunkt 0 einsetze komme ich nicht auf 1. unglücklich

Ja, es muss $\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{2} + \frac{5x}{2} +1 \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Die Newton-Darstellung bezeichnet dementsprechend dann die Darstellung als Linearkombination der Newton-Basiselemente.

Ok.

Was ist aber die Newtonsche Interpolationsformel?

08.10.2012, 20:23

Math1986

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)

Zitat:

Original von akvarel
Was ist aber die Newtonsche Interpolationsformel?

Die Interpolation durch Newton-Polynome. Hast du mal den Kontext?

08.10.2012, 20:30

akvarel

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)

Zitat:

Original von Math1986
Die Interpolation durch Newton-Polynome. Hast du mal den Kontext?

Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Daten mit der Newtonschen Interpolationsformel.

So lautet die Aufgabestellung

08.10.2012, 20:49

Math1986

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)
Dann ist wohl Interpolation durch die Newton-Basispolynome gemeint.

08.10.2012, 21:28

akvarel

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)

Zitat:

Original von Math1986
Dann ist wohl Interpolation durch die Newton-Basispolynome gemeint.

Und wie sieht das aus? Ich habe keine Ahnugn was das ist =)

08.10.2012, 22:09

Math1986

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)
Diese Polynome findest du in Wikipedia btw sicher auch in deinem Skript. Würde jetzt zu lange dauern, das ausführlich zu erklären.

09.10.2012, 09:51

akvarel

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)
Ich glaub ich habs verstanden.
Laut http://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation sieht die Matrix so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & & \\ 1 & 0-(-1) & \\ 1 & 2-(-1) & (2-(-1))*(2-0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & \\ 1 & 1 & \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & & \\ 1 & 1 & \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und damit sind:
$\begin{eqnarray*} c_{0}=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{1}=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{2}=-1/2 \end{eqnarray*}$

Das sind die Koeffizienten, die man auch in dividierten Differenzen bekommt und man kann dann die Newtonschedarstellung bilden.

Ist es richtig?

Das ist die newtonsche Interpolationsformel?

09.10.2012, 10:21

Math1986

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)
Habe gerade keine Zeit, aber die Korrektheit des Interpolationspolynoms kannst du ja wohl selbst überprüfen.

09.10.2012, 11:35

akvarel

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)

Zitat:

Original von Math1986
Habe gerade keine Zeit, aber die Korrektheit des Interpolationspolynoms kannst du ja wohl selbst überprüfen.

Zitat:

Original von akvarelBerechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Daten mit der Newtonschen Interpolationsformel.

Die Frage ist ob das der korrekte Rechnungsweg mit der Newtonschen Interpolationsformel. Also, ob der Rechnungsweg der Aufgabestellung entspricht.

09.10.2012, 13:53

Math1986

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RE: Polynominterpolation(richtige Schreibweise/Definition)
Ja, der Rechenweg ist vom Prinzip her richtig.

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