Orthonormalbasis |
08.10.2012, 21:58 | Steffe2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Orthonormalbasis [attach]26142[/attach] Meine Ideen: Ok, unter Orthonormalbasis verstehe ich, das der Basisvektor die Norm 1 hat und das sie zueinander orthogonal sind. Weiters wird ein Vektor orthonomalisiert, wenn gilt . Also wenn der Vektor durch seine Norm dividiert wird. Nun wäre ich an meine Angabe herangegangen und hätte gezeigt, dass die Norm von sin(x) bzw cos(x) ist. Jetzt komme ich nicht wirklich weiter, einzig ist mir aufgefallen, dass wenn ich einsetze, so erhalte ich 1 als Norm. Ich bin für jeden Rat dankbar mfg |
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08.10.2012, 22:35 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Orthonormalbasis
Das ist nicht sehr gut formuliert, aber ja, so in etwa.
Wie, wenn Du einsetzt? Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst? Welche Normen müssen diese Vektoren haben und welchen Wert ihr Skalarprodukt haben? Was musst Du dazu konkret berechnen? |
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09.10.2012, 07:53 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hey, danke für deine Antwort
also dies wäre hier doch
Sie müssen alle die Norm 1 haben, da es sich um die Orthnormalität handelt
Es muss den Wert haben, aber da komme ich nicht ganz mit denn plötzlich geht es ja um Funktionen im Integral...
Ich hätte dazu die (Ortho)Normalisierung berechnet, also , nur wie ich da nun weitergehe weis ich nicht und wollte mich an euch wenden.... Habe ich das so richtig verstanden? mfg |
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09.10.2012, 10:01 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi, steffen2361.
Mit meiner Korrektur: ja, das sind die Elemente im Vektorraum insgesamt. Ich meinte aber eigentlich, dass Du nochmal die Basisvektoren, um die es geht, aufschreibst. Mache Dir außerdem klar, dass es hier wirklich um Funktionen der Form geht, nicht um einzelne Funktionswerte für jeweils feste . Denn ist schließlich Treilmenge des Raums der stetigen Funktionen . Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob Dir das so klar ist.
Ein Skalarprodukt ist schlichtweg eine positiv definite, symmetrische Bilinearform, d.h. eine Abbildung mit bestimmten Zusatzeigenschaften. Dass das definierte Produkt zwei Funktionen auf ein bestimmtes Integral abbildet, ist nach meiner obigen Bemerkung nicht verwunderlich. Du kannst weiterhin nachrprüfen, dass das so definierte tatsächlich auch ein Skalarprodukt ist (rechnerisch ist das nicht schwer). Um welche beiden Basisvektoren geht es nun und wie sieht das Skalarprodukt zwischen ihnen aus? Viele Grüße, zweiundvierzig |
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09.10.2012, 11:25 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok bitte verurteile mich nicht, es geht doch un die Basisvektoren die V aufspannen oder? Somit wären die Basisvektoren doch denn diese zwei spannen doch mein V auf oder? Könnte ich dann sagen, dass und Also dann wäre ihr Skalarprodukt: Haben Sie das so gemeint? mfg |
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09.10.2012, 11:46 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich verurteile Dich nicht. Aber lies doch nochmal die Aufgabe. Was soll eine Orthonormalbasis bilden?
Diese Vektoren bilden eine mögliche Basis, aber nicht diejenige, um die es geht (s.o.). Wie Du weißt, gibt es bei Vektorräumen im allgemeinen nicht "die Basis", sondern sehr viele verschiedene.
Ja, so berechnet man in der Tat das Skalarprodukt von und , wie du sie definiert hast, aber guck Dir Dein Ergebnis nochmal an. Edit: Wir duzen uns hier alle. |
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09.10.2012, 14:20 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ach ja, das war in der Hektik schnell gerechnet bevor mein chef wieder vorbeikommt Muss ich also die Basis nehmen die schon in der Angabe steht. Also Und jetzt hiermit das Skalarprodukt berechnen: Das haben wir ja schon berechnet und es kommt heraus Somit ergibt das Skalarprodukt von <f,g> = 0 was ja bei einer Orthonormalitätsbasis zutreffen muss. Müsste ich jetzt noch zeigen, dass diese Vektoren die Länge 1 besitzen? mfg |
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09.10.2012, 14:25 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau, sieht sehr gut aus.
Richtig. Wie berechnet sich denn hier die Norm ? |
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09.10.2012, 14:42 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok hier wäre das doch: und ebenfalls für mein g(x) Nun muss ich das ausrechnen: hmm irgendwie dreh ich mich da im Kreis? bzw, wo liegt mein Fehler? |
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09.10.2012, 14:55 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So stimmt das nicht (allein schon kommt auf den jeweils linken Seiten noch ein vor, von dem die Norm wohl kaum abhängen darf). Wie lautet denn die Formel für die durch ein gegebenes Skalarprodukt induzierte Norm ? |
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09.10.2012, 15:30 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Meinst du die Polarisationsformel? |
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09.10.2012, 15:32 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Polarisationsformel stellt einen Zusammenhang zwischen Norm und Skalarprodukt her, aber wie lautet denn überhaupt die ursprüngliche Definition für die Norm? |
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09.10.2012, 15:41 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
diese gliedert sich doch in 3 Punkte Definitheit: Homogenität: Deiecksungleichung: Diese hier? |
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09.10.2012, 16:07 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So ist eine Norm allgemein definiert, ja, aber wie sieht denn die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm aus? Denk mal an die euklidische Norm... |
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09.10.2012, 16:25 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Achso, willst du auf diese hinaus? |
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09.10.2012, 16:30 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. |
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09.10.2012, 16:39 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, dann würde für f(x) gelten: dann kann ich das pi herausheben: Nur wie lös ich das nun aus, oder ist dies dann einfach also in meiner Rechnung |
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09.10.2012, 16:42 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wir hatten doch oben gesagt, was das Skalarprodukt von zwei Funktionen in unserem Raum sein soll. Edit: Und bei mir gilt auch nicht, dass |
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09.10.2012, 16:55 | steffen2361 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ach ja, (deinen edit habe ich auch schon bemerkt) <cos(x),cos(x)> = Wenn ich mich beim integrieren nicht verrechnet habe folgt: also folgt: Analog mit sinus Danke für deine Hilfe werde morgen aber noch ein Beispiel posten, aber für heute lass ich es gut sein, Danke dir vielmals |
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