Orthonormalbasis

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Steffe2361 Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis
Hi, ich habe folgende Frage an euch

[attach]26142[/attach]

Meine Ideen:

Ok, unter Orthonormalbasis verstehe ich, das der Basisvektor die Norm 1 hat und das sie zueinander orthogonal sind.

Weiters wird ein Vektor orthonomalisiert, wenn gilt . Also wenn der Vektor durch seine Norm dividiert wird.

Nun wäre ich an meine Angabe herangegangen und hätte gezeigt, dass die Norm von sin(x) bzw cos(x) ist.

Jetzt komme ich nicht wirklich weiter, einzig ist mir aufgefallen, dass wenn ich einsetze, so erhalte ich 1 als Norm.

Ich bin für jeden Rat dankbar

mfg
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis
Zitat:
Original von Steffe2361
Ok, unter Orthonormalbasis verstehe ich, das der Basisvektor die Norm 1 hat und das sie zueinander orthogonal sind.

Das ist nicht sehr gut formuliert, aber ja, so in etwa.

Zitat:
Original von Steffe2361 ich nicht wirklich weiter, einzig ist mir aufgefallen, dass wenn ich einsetze, so erhalte ich 1 als Norm.

Wie, wenn Du einsetzt?

Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst? Welche Normen müssen diese Vektoren haben und welchen Wert ihr Skalarprodukt haben? Was musst Du dazu konkret berechnen?
 
 
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

hey, danke für deine Antwort

Zitat:
Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst?


also dies wäre hier doch





Zitat:
Welche Normen müssen diese Vektoren haben?


Sie müssen alle die Norm 1 haben, da es sich um die Orthnormalität handelt

Zitat:
welchen Wert ihr Skalarprodukt haben?


Es muss den Wert haben, aber da komme ich nicht ganz mit denn plötzlich geht es ja um Funktionen im Integral... verwirrt

Zitat:
Was musst Du dazu konkret berechnen?


Ich hätte dazu die (Ortho)Normalisierung berechnet, also , nur wie ich da nun weitergehe weis ich nicht und wollte mich an euch wenden....


Habe ich das so richtig verstanden?
mfg
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, steffen2361.

Zitat:
Original von steffen2361
hey, danke für deine Antwort

Zitat:
Was sind denn hier die Vektoren, die Du angucken sollst?


also dies wäre hier doch






Mit meiner Korrektur: ja, das sind die Elemente im Vektorraum insgesamt. Ich meinte aber eigentlich, dass Du nochmal die Basisvektoren, um die es geht, aufschreibst.

Mache Dir außerdem klar, dass es hier wirklich um Funktionen der Form geht, nicht um einzelne Funktionswerte für jeweils feste . Denn ist schließlich Treilmenge des Raums der stetigen Funktionen . Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob Dir das so klar ist.

Zitat:
Original von steffen2361
Zitat:
welchen Wert ihr Skalarprodukt haben?


Es muss den Wert haben, aber da komme ich nicht ganz mit denn plötzlich geht es ja um Funktionen im Integral... verwirrt

Ein Skalarprodukt ist schlichtweg eine positiv definite, symmetrische Bilinearform, d.h. eine Abbildung mit bestimmten Zusatzeigenschaften. Dass das definierte Produkt zwei Funktionen auf ein bestimmtes Integral abbildet, ist nach meiner obigen Bemerkung nicht verwunderlich. Du kannst weiterhin nachrprüfen, dass das so definierte tatsächlich auch ein Skalarprodukt ist (rechnerisch ist das nicht schwer).

Um welche beiden Basisvektoren geht es nun und wie sieht das Skalarprodukt zwischen ihnen aus?

Viele Grüße,
zweiundvierzig
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ok bitte verurteile mich nicht, es geht doch un die Basisvektoren die V aufspannen oder?

Somit wären die Basisvektoren doch




denn diese zwei spannen doch mein V auf oder?

Könnte ich dann sagen, dass und

Also dann wäre ihr Skalarprodukt:



Haben Sie das so gemeint?

mfg
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steffen2361
ok bitte verurteile mich nicht, es geht doch un die Basisvektoren die V aufspannen oder?

Ich verurteile Dich nicht. Augenzwinkern Aber lies doch nochmal die Aufgabe. Was soll eine Orthonormalbasis bilden?

Zitat:
Original von steffen2361
Somit wären die Basisvektoren doch




denn diese zwei spannen doch mein V auf oder?

Diese Vektoren bilden eine mögliche Basis, aber nicht diejenige, um die es geht (s.o.). Wie Du weißt, gibt es bei Vektorräumen im allgemeinen nicht "die Basis", sondern sehr viele verschiedene.

Zitat:
Original von steffen2361
Also dann wäre ihr Skalarprodukt:



Ja, so berechnet man in der Tat das Skalarprodukt von und , wie du sie definiert hast, aber guck Dir Dein Ergebnis nochmal an.

Edit: Wir duzen uns hier alle. Wink
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Zitat:Original von steffen2361Also dann wäre ihr Skalarprodukt:

Ja, so berechnet man in der Tat das Skalarprodukt von und , wie du sie definiert hast, aber guck Dir Dein Ergebnis nochmal an.


Ach ja, das war in der Hektik schnell gerechnet bevor mein chef wieder vorbeikommt Augenzwinkern


Muss ich also die Basis nehmen die schon in der Angabe steht. Also




Und jetzt hiermit das Skalarprodukt berechnen:



Das haben wir ja schon berechnet und es kommt heraus



Somit ergibt das Skalarprodukt von <f,g> = 0 was ja bei einer Orthonormalitätsbasis zutreffen muss.

Müsste ich jetzt noch zeigen, dass diese Vektoren die Länge 1 besitzen?

mfg
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, sieht sehr gut aus. Freude

Zitat:
Müsste ich jetzt noch zeigen, dass diese Vektoren die Länge 1 besitzen?

Richtig. Wie berechnet sich denn hier die Norm ?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ok hier wäre das doch:



und ebenfalls für mein g(x)



Nun muss ich das ausrechnen:



hmm irgendwie dreh ich mich da im Kreis? bzw, wo liegt mein Fehler?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

So stimmt das nicht (allein schon kommt auf den jeweils linken Seiten noch ein vor, von dem die Norm wohl kaum abhängen darf).

Wie lautet denn die Formel für die durch ein gegebenes Skalarprodukt induzierte Norm ?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie lautet denn die Formel für die durch ein gegebenes Skalarprodukt induzierte Norm ?


Meinst du die Polarisationsformel?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polarisationsformel stellt einen Zusammenhang zwischen Norm und Skalarprodukt her, aber wie lautet denn überhaupt die ursprüngliche Definition für die Norm?
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber wie lautet denn überhaupt die ursprüngliche Definition für die Norm?


diese gliedert sich doch in 3 Punkte

Definitheit:
Homogenität:

Deiecksungleichung:

Diese hier?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

So ist eine Norm allgemein definiert, ja, aber wie sieht denn die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm aus? Denk mal an die euklidische Norm...
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, willst du auf diese hinaus?

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann würde für f(x) gelten:



dann kann ich das pi herausheben:



Nur wie lös ich das nun aus, oder ist dies dann einfach



also in meiner Rechnung



verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steffen2361


Wir hatten doch oben gesagt, was das Skalarprodukt von zwei Funktionen in unserem Raum sein soll. unglücklich

Edit: Und bei mir gilt auch nicht, dass
steffen2361 Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja, Forum Kloppe (deinen edit habe ich auch schon bemerkt)

<cos(x),cos(x)> =

Wenn ich mich beim integrieren nicht verrechnet habe folgt:



also folgt:



Analog mit sinus

Danke für deine Hilfe Augenzwinkern werde morgen aber noch ein Beispiel posten, aber für heute lass ich es gut sein,

Danke dir vielmals
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