Bestimmen, ob eine Zahl rational ist

Neue Frage »

epsilonxyz Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen, ob eine Zahl rational ist
Wir müssen für den Bruch (Wurzel(3) - 1) /2 bestimmen, ob sie rational ist.
Ich weiss, dass Wurzel(3) eine irrationale Zahl ist, ich würde drauf tippen, dass der ganze Buch auch irrational ist. Aber wie kann ich das begründen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du zu einer irrationalen Zahl eine rationale Zahl addierst oder von ihr eine rationale Zahl subtrahierst, sie mit einer rationalen Zahl ungleich Null multiplizierst oder durch eine rationale Zahl ungleich Null dividierst, erhältst du immer eine irrationale Zahl. Das folgt aus der Abgeschlossenheit von gegenüber den Grundrechenarten. Führe einen Beweis durch Widerspruch.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
leopold ist mir schon zuvor gekommen, aber ich wollte auch vorschlagen, setze 1/2(wurzel(3)-1) gleich
p/q und führe das zu einem widerspruch...
gruss ollie3
epsilonxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich 1/2(wurzel(3)-1) gleich
p/q und setze und zum widerspruch führe, hab ich ja nur die irrationalität dieser Zahl bewiesen.

Wäre der allgemeinere Beweis, dass dies für beliebige Operationen die Abgeschlossenheit von Q verletzt nicht anders?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsilonxyz
Aber wenn ich 1/2(wurzel(3)-1) gleich
p/q und setze und zum widerspruch führe, hab ich ja nur die irrationalität dieser Zahl bewiesen.



Und warum "nur" ? verwirrt

Das willst du doch.....
epsilonxyz Auf diesen Beitrag antworten »

jain.

Wenn ich mit einem Beweis dies Abgeschlossenheit allgemein zeige, ist es doch viel besser, als wenn ich nur die Eigenschaft für Wurzel 3 zeige? Zu Beginn wusste ich noch nicht, dass man das Ganze mit der Abgeschlossenheit von Q zeigen kann...oder soll ich jetzt etwa bei dem viel schwächeren Beweis bleiben nur weil ich am Anfang danach gefragt habe? Big Laugh
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein "entweder oder" sondern ein "sowohl als auch".

Wenn man vorraussetzen darf, dass irrational ist und dann die Abgeschlossenheit von benutzt, ist das okay (aber dann ist der Beweis eine einzeilige Argumentation).

Man sollte also einerseits zeigen, dass ist und dann die Abgeschlossenheit von verwenden.

Man kann aber auch "in eins" einfach setzen und das zu einem Widerspruch führen....

Und was anderes war nicht gemeint.

Was du machst bleibt dir überlassen, insgesamt zeigst du bei beiden Varianten "nur" die irrationalität von , aber das ist auch die Aufgabe.....
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir es so: In nicht ganz korrekter mathematischer Schreibweise, dafür prägnant notiert, gilt:







Die Sonderrolle der Null bei den Punktrechenarten habe ich in meinem vorigen Beitrag bereits betont, ich übergehe das hier.

Und wenn epsilonxyz das alles gezeigt hat, hat er doch mehr gezeigt, als wenn er nur die konkrete Aufgabe gelöst hat, die ja nur eine Anwendung der allgemeinen Aussage ist (zweimal anwenden). Denn von der Irrationalität von darf epsilonxyz nach seinen eigenen Angaben ausgehen.

sollte bekannt sein und darf wohl ohne weitere Begründung als gegeben angenommen werden. Letztlich ist das alles in der Körperaxiomen, hier für den Körper , mit drin.
Und folgt direkt aus , indem man einen Beweis durch Widerspruch führt. Ein Rückgriff auf die Natur der rationalen Zahlen als Quotienten zweier ganzer Zahlen ist überflüssig und verstellt nur den Blick auf das Wesentliche.

Gehen wir also von einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl aus, und nehmen wir an, daß zum Beispiel ihr Produkt



wieder rational ist. Wie bekommt man jetzt aus sofort einen Widerspruch? Und warum muß man hier ausschließen?
Gast192 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre , d.h. der Quotient zweier rationaler Zahlen und somit (wegen der Abgeschlossenheit von Q selbst rational - Widerspruch!

Wegen der Nullteilerfreiheit schließen wir a = 0 aus
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »