Doppelpost! Multilineare Abbildungen: Dachprodukt

09.10.2012, 12:06

ersti12

Multilineare Abbildungen: Dachprodukt

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

habe am Freitag mündliche Prüfung in LA über LA 1 und 2.

Ich hänge gerade etwas an dem sogenannten "Dachprodukt", also die p-fache äußere Potenz eines Vektorraums V.

Wie ist das überhaupt definiert?
Wie rechne ich beispielsweise das "Dachprodukt" zwischen zwei gegebenen Vektoren aus?
Wie stelle ich eine Basis von V^p auf?

Ist das mit dem Tensorprodukt vergleichbar? Also rechne ich das genauso aus, nur dass es eben für multilineare Abbildungen gilt?

Es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet! ich bin kurz vor dem Verzweifeln!

Ich weiß beispielsweise, dass im dreidimensionalen, das Dachprodukt eine Verallgemeinerung des Kreuzproduktes darstellt. Bei dem Tensorprodukt kann man jedoch auf dreidimensionale und vierdimensionale Vektoren nehmen und zwischen ihnen das Tensorprodukt berechnen. Gilt das ebenfalls für das Dachprodukt?

DANKE!!!!!!!!

Viele Grüße,

ersti12

Meine Ideen:
Ich weiß beispielsweise, dass im dreidimensionalen, das Dachprodukt eine Verallgemeinerung des Kreuzproduktes darstellt. Bei dem Tensorprodukt kann man jedoch auf dreidimensionale und vierdimensionale Vektoren nehmen und zwischen ihnen das Tensorprodukt berechnen. Gilt das ebenfalls für das Dachprodukt?

09.10.2012, 12:11

zweiundvierzig

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RE: Multilineare Abbildungen: Dachprodukt
Fangen wir bei Punkt 1 an. smile

Zitat:

Original von ersti12
Wie ist das überhaupt definiert?

Was steht denn dazu im Skript?

Zitat:

Original von ersti12
Ist das mit dem Tensorprodukt vergleichbar? Also rechne ich das genauso aus, nur dass es eben für multilineare Abbildungen gilt?

Das Tensorprodukt hat etwas damit zu tun, s.o.

09.10.2012, 12:44

ersti12

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Hallo zweiundvierzig, erstmal vielen lieben Dank für die superschnelle Antwort.

Also in unserem Skript ist das wie folgt definiert:

"V ist ein K-Vektorraum und p eine natürliche Zahl. Ein Vektorraum A zusammen mit einer (p-stelligen) multilinearen alternierenden Abbildung ^p; Vp --> A heißt p-fache äußere Potenz von V, wenn (die unverselle eigenschaft des Tensorproduktes gilt).

Dann steht da irgendwas, dass man eine lineare Ordnung fixiert, aber wie man das explizit ausrechnet? :O

09.10.2012, 12:59

ersti12

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Ich habe noch etwas gefunden:

Praktisch ist das Dachprodukt so definiert

v1 ^ v2 .... ^ v n =

Summe über den Permutationen von v1 (tensorprodukt) v2 .... etc. Jedoch sind diese antisymmetrisch, richtig?
Wenn ich also v1 und v2 vertausche muss ich ein minus setzen?

09.10.2012, 13:24

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von ersti12
"V ist ein K-Vektorraum und p eine natürliche Zahl. Ein Vektorraum A zusammen mit einer (p-stelligen) multilinearen alternierenden Abbildung ^p; Vp --> A heißt p-fache äußere Potenz von V, wenn (die unverselle eigenschaft des Tensorproduktes gilt).

Ja, das ist die Definition von $\begin{eqnarray*} \Lambda^k V \end{eqnarray*}$ über die universelle Eigenschaft, die Elemente heißen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Formen.

Man kann die direkte Summe $\begin{eqnarray*} \Lambda V := \bigoplus_{k = 0}^\infty \Lambda^k V \end{eqnarray*}$ betrachten und darauf eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ definieren:

Für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Lambda^k V, \eta \in \Lambda^l V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (\omega \wedge \eta)(v_1,\ldots,v_{k + l}) := \frac{(k + l)!}{k!l!}\sum_{\sigma \in S_{k + l}} \mathrm{sgn}(\sigma)(\omega \otimes \eta)(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(k + l)}) \end{eqnarray*}$
eine $\begin{eqnarray*} (k + l) \end{eqnarray*}$ -Form und das ist auch genau die Definition, die in Eurem Skript enthalten sein sollte.

Um uns das zu veranschaulichen, nimm an, Du hast zwei $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ -Formen gegeben, d.h. einfach Linearformen $\begin{eqnarray*} \omega, \eta \colon V \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wie sieht $\begin{eqnarray*} \omega \wedge \eta \end{eqnarray*}$ hier aus?

Edit: Bitte benutze LaTex in Deinen Beiträgen (siehe Board-Tutorial). Aber wenn Du schon in Klartext vermischt mit Symbolen Formeln zitierst, dann bitte erkennbar richtig...

09.10.2012, 13:27

ersti12

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Da müsste doch dann wieder eine 1-Form rauskommen oder?

09.10.2012, 13:28

zweiundvierzig

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Bitte genau lesen, was ich geschrieben habe.

09.10.2012, 13:40

ersti12

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Also der Ausdruck mit den Fakuläten ergibt dann eine "2", wenn man zwei 1-Formen hat.

09.10.2012, 13:41

ersti12

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Ich verstehe noch nicht was der Ausdruck in der Summe soll. Bei 1-Formen habe ich doch die vi nicht gegeben oder?

09.10.2012, 13:45

zweiundvierzig

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Genau, zwei 1-Formen miteineinander verknüpft ergeben eine 2-Form.

Zitat:

Bei 1-Formen habe ich doch die vi nicht gegeben oder?

Hier sind $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Formen lediglich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -lineare Abbildungen und bei $\begin{eqnarray*} \omega(v_1,\ldots,v_k) \end{eqnarray*}$ meine ich mit den $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ die Liste der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Argument-Vektoren.

09.10.2012, 13:55

ersti12

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okay, das habe ich jetzt verstanden.

In einem Prüfungsprotokoll kam aber vor, dass man eine Basis zu $\begin{eqnarray*} V^p \end{eqnarray*}$ angeben sollte. Wie würde ich das jetzt machen?

$\begin{eqnarray*} V^p \end{eqnarray*}$ bedeutet doch gerade V1 x V2 .... x Vp oder? Wähle ich dann aus jedem dieser V eine Basis und verknüpfe sie dann miteinander?

09.10.2012, 14:14

zweiundvierzig

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Meinst Du $\begin{eqnarray*} V^p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Lambda^p V \end{eqnarray*}$ ?

09.10.2012, 14:50

ersti12

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Ich meine die p-fache äußere Potenz von V also $\begin{eqnarray*} V^p \end{eqnarray*}$ .

Das andere würde doch das folgende bedeuten, oder?

V_1 ^ V_2 ..... ^ V_p

09.10.2012, 15:19

jester.

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Wegen Crossposting geschlossen.
Ich bin sicher, dass zweiundvierzig besseres zu tun hat, als dir hier bei einer Frage zu helfen, die dir auch schon in einem anderen Forum beantwortet wird. unglücklich

Bitte lies noch einmal unser Boardprinzip, mit dem du dich eigentlich schon bei der Anmeldung hättest vertraut machen sollen.

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