Verschoben! Senkrechte Parallelprojektion eines Kreises |
| 09.10.2012, 12:55 | aberlour283 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Senkrechte Parallelprojektion eines Kreises Meine Aufgabe die ich lösen muss ist folgende: Gegeben sei die durch die Punkte P(5|2|2) und Q(0|6|5) wohlbestimmte Gerade g, sowie die durch R(6|-6|3) verlaufende Parallele zu g. Man konstruiere bei senkrechter Parallelprojektion Grund- und Aufriss jenes Kreises, der in der durch die beiden Parallelen bestimmten Ebene gelegen ist und beide Geraden berührt, wobei P einer der Tangentenberührpunkte sei. Meine Ideen: Meine Konstruktionsbeschreibung bis jetzt sieht so aus: (1) Risse von P, Q und R zeichnen. (2) t_1 | P EUR t_1 und Q EUR t_1 (3) t_2 | t_2 || t_1 und R EUR t_2 (Ende der Vorgabe) (4) h | Höhenlinie in µ = µ (t_1, t_2) mit R EUR h also: h'' | h'' || x_12 und R'' EUR h'' h' vermittels Angittern (5) Zeichne eine senkrechte Gerade zu h' durch P' und nenne sie k'. k' schneidet nun h' in einem Punkt M' (dranschreiben). Der Aufriss k'' ist der Ordner von P''. Den auch zeichnen, aber nicht k'' dranschreiben (überflüssig). (6) Der zuletzt gezeichnete Ordner zu P'' schneidet h'' in einem Punkt Q''. Nimm den Abstand von P'' und Q'' in den Zirkel. Steche dann in M' ein und trage den eben gemessenen Abstand auf h' ab (Richtung egal, im Zweifel da wo du mehr Platz hast, tendenziell rechts, weil links noch der Großteil der Ellipse hin muss). Der entstehende Punkt heißt H'. (7) Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck H'M'P' mit rechtem Winkel bei M'. Nimm die Länge der Seite P'H' in den Zirkel. Steche dann wieder in M' ein und trage die Länge auf k' in die Richtung, wo NICHT P' ist ab. (im Prinzip als Verlängerung der Dreiecksseite P'M' von M' aus). Dieser Punkt ist der parallel gedrehte Punkt zu P. Kannst du P^0' (P-Null-Strich) nennen (8) Zeichne eine Senkrechte durch P' auf den beiden Tangenten t_1 und t_2. (9) Halbiere diese Seite (konstruktiv!) Verbinde die beiden entstehenden Schnittpunkte der Kreisbögen miteinander. Der neue Schnittpunkt mit der Geraden teilt diese widerrum genau in der Mitte. Das sollte der Mittelpunkt M' der Ellipse sein (glaube ich zumindest). (M'' musst du nicht angittern, denn die beiden Ellipsen in Grund und Aufriss sind voneinander verschieden!!) (10) senkrecht perspektive Affinität (10.1) h' = a (Bezeichnung - Affinitätsachse) (10.2) Zeichne eine senkrechte Gerade durch M' zu a. (10.3) Zeichne eine Gerade durch M' und P' (müsste schon verbunden sein). Diese schneidet h' in einem (Fix-)punkt F' . (10.4) Zeichne eine Gerade durch F' und P^0', so lang, dass diese z' schneidet. Dieser Schnittpunkt ist M^0', der Mittelpunkt der Urkreises k. (10.5) Zeichne den Urkreis k mit Mittelpunkt M^0' und Radius M^0'P^0' (10.6) k schneidet h' = a in zwei Punkte 1' und 2'. Diese sind ebenfalls Fixpunkte und MÜSSEN auch auf der Ellipse als perspektiv affines Kreisbild liegen. Jetzt müsste die Konstruktion der Ellipsenachsen ohne/nach RYTZ folgen, aber ich weiß nicht genau, wie ich dies zeichne. Ist meine bisherige Vorgehensweise richtig? Und wie muss ich weiter machen, beziegungsweise sieht mein Endresultat aus? |
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| 09.10.2012, 23:41 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ohne auf die lange Konstruktionsbeschreibung näher einzugehen (sie kann durchaus richtig sein), sei gesagt, dass der Mittelpunkt des Kreises der Mittelpunkt der Strecke ist, die auf der Normalen durch P von den beiden Geraden abgeschnitten wird. Diese Normale kann nach Klappung um eine Hauptgerade (sie wird sinnvoll gleich durch P gelegt) ermittelt werden und ist gleichzeitig Affinitätsachse. Nebenbei muss dieser Mittelpunkt infolge der Verhältnistreue der Projektion auch in beiden Rissen auf der Mittenparallelen der beiden parallelen Geraden liegen. Die Projektion des Kreises erzeugt in beiden Rissen im Allgemeinen Ellipsen. Deren große Achsen liegen in Hauptgeradenrichtung (Grundriß -> 1. Hauptgerade, Aufriß --> 2. Hauptgerade) und haben als Länge die unverzerrte (wahre) Länge des Kreisdurchmessers. Die Nebenachse erhält man mittels umgekehrter Papierstreifenkonstruktion, wenn man zuvor einen Endpunkt der großen Achse mittels Angittern auf der Hauptgeraden in den anderen Riß bringt. Die Rytz'sche Achsenkonstuktion wird nur dann anzuwenden sein, wenn beliebige konjugierte Durchmesser vorliegen. [Siehe die Grundaufgabe Kreisdarstellung(!)] mY+ |
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