Konvergenz von zwei elementaren Folgen

09.10.2012, 14:01	epsilonxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von zwei elementaren Folgen Für diese Folgen sollen wir die Konvergenz (falls die Folgen konvergieren) zeigen: Folge 1: 1/n^2 + 2/n^2 + ..... + n/n^2 für n = 1,2,3.... Diese Folge sieht für mich aus wie eine Summe: Summation von allen n: n/n^2 und ich denke auch, dass sie konvergent ist, ich weiss aber nicht, gegen was und ich weiss auch nicht, wie ich das beweisen soll. Es ist Teil einer Multiple Choice Aufgabe welche man normalerweise ohne allzu formale Beweise lösen kann - weiss aber nicht ob das hier geht?!?? Folge 2: a1 = 0 a2 = 1, an = 1/2(a(n-1) + a(n-2)) Zuerst hab ich ja an die Fibonacci-Folge gedacht, aber die sieht doch etwas anders aus? Wie auch immer, diese Folge sieht für mich nach einigen Rechnungen divergent aus. Aber auch hier, wie kann ich das genauer zeigen?
09.10.2012, 14:05	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von zwei elementaren Folgen Hi, es handelt sich um eine Reihe. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Probier es mal mit dem Reihen Integral Kriterium, dass sollte zielführend sein. Wenn es aber auch ausreichen sollte, könntest du einfach sagen das es sich um eine p-series handelt also $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p} \end{eqnarray}$ und diese Reihe ist für $\begin{eqnarray} p>1 \end{eqnarray}$ konvergent.
09.10.2012, 14:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von zwei elementaren Folgen Es geht eher um $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac k{n^2}\,. \end{eqnarray}$
09.10.2012, 15:21	epsilonxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Che Netzer hat Recht. So etwas wie Integralkriterium hatten wir gar nicht, ich bin im ersten Semester in der dritten Woche. Gibt es keine "einfachere" Möglichkeit, den Grenzwert zu bestimmen?
09.10.2012, 15:48	Gastt	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 1. kannst Du ja mit Ché's Darstellung und dem kleinen Gauß weitermachen. Bei 2. berechne mal $\begin{eqnarray} a_{n+1}-a_n \end{eqnarray}$ und denk dann an Teleskopsumme und geometrische Reihe.
09.10.2012, 16:08	epsilonxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem "kleinen Gauss": lim Summe(k1/n^2) = lim (n(n+1)/2 1/n^2) = lim (n^2 + n/2n^2) und mit L'hopital hab ich dann den Grenzwert = 1/2. Was meint ihr?
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09.10.2012, 16:16	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt, ginge aber sogar ohne l'Hospital: $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}2\frac1{n^2}=\frac12\frac{n+1}n\to\frac12\,. \end{eqnarray}$

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