Ich bin zu ... Funktion x^6

05.02.2007, 14:28

Hoffi1980

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Ich bin zu ... Funktion x^6

Ich bin da zu blöd für:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1/6*(-x^6+3*x^4-3*x^2+1) \end{eqnarray*}$

nun mache ich daraus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^6+3*x^4-3*x^2+1 \end{eqnarray*}$

dann Substitution:
t =x²

dann sieht das doch so aus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=t^3+3*t^2-3*t+1 \end{eqnarray*}$

und nun Rate ich eine Nullstelle: t1=-1 also Linearfaktor = (t+1)

nun Polynomdivision mit der substituierten Gleichung...und nur Blödsinn
kommt raus böse

böse

05.02.2007, 14:29

tigerbine

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RE: Ich bin zu ... Funktion x^6
Ich auch, denn was ist die Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

05.02.2007, 14:29

sqrt4

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tja und was genau sollst du damit anstellen??

Nullstellen berechenen??

05.02.2007, 14:32

Hoffi1980

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@all ich poste noch

nun ist fertig geschrieben!

05.02.2007, 14:37

sqrt4

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RE: Ich bin zu ... Funktion x^6

Zitat:

Original von Hoffi1980
Ich bin da zu blöd für:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1/6*(-x^6+3*x^4-3*x^2+1) \end{eqnarray*}$

nun mache ich daraus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^6+3*x^4-3*x^2+1 \end{eqnarray*}$

dann Substitution:
t =x²
dann sieht das doch so aus:
$\begin{eqnarray*} f(x)=t^3+3*t^2-3*t+1 \end{eqnarray*}$

1.

unglücklich

bei deiner Schreibweise drehts mir zwar alles um aber naja (du solltest das f(x)=... besser welassen- so wies dasteht strecihts dir jeder Lehrer an- ich weiß aber was du meinst-besser wäre 0=1/6...)

2. dann poste daoch mal die Polynomdiv. und dann sehen wir was falsch ist

Edit: Deine geratene Nullstelle stimmt nicht
Mit raten wirst du da nicht weiterkommen die Nullstelle ist jenseits vom "ratbaren"(is sehr subjektiv ich weiß Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

05.02.2007, 14:40

Hoffi1980

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RE: Ich bin zu ... Funktion x^6
Danke

da kommt ein Rest raus.

Habe das MatheAss rechnen lassen, da kommt auch ein Rest raus. Und in einem anderen Thread habe ich erklärt bekommen, dass wenn ich eine Nullstelle richtig finden, kein Rest rauskommen darf. verwirrt

verwirrt

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05.02.2007, 14:41

derkoch

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*verschoben* Keine HS!

05.02.2007, 14:43

Divergenz

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RE: Ich bin zu ... Funktion x^6
Hallo,

selbst wenn es nur um die Nullstellenberechnung geht, dann ist schon die erste Umformung falsch, denn entweder da fehlt nur das Minus vor der x^6, oder man muss alle Vorzeichen tauschen!
Dann ist die geratene Lösung für deine verbliebene Gleichung falsch, die Polynomdivision kann also nicht aufgehen!

05.02.2007, 14:43

sqrt4

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RE: Ich bin zu ... Funktion x^6

Zitat:

Original von Hoffi1980

$\begin{eqnarray*} 0=t^3+3*t^2-3*t+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich den Fehler gefunden. du hast beim erten Summanden das minus vergessen es müsste $\begin{eqnarray*} -t^3 \end{eqnarray*}$ heißen

05.02.2007, 16:10

Hoffi1980

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Soweit so gut.

Ich checke das immer noch nicht ganz.

erste Nullstelle durch probieren = 1 zweite aus p/q formel auch 1.

Wo bekomme ich denn die anderen her?

Und wann substituiere ich zurück? Also wie geht es weiter?

Habe bisher:
Substitution
Eine Nullstelle geraten
Polynomdivision
p/q Formel

05.02.2007, 17:01

sqrt4

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die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=-t^3+3t^2-3t+1 \end{eqnarray*}$
hat also offensichtlich nur eine Nullstelle (die kommt aber dreifach vor).

Jetzt kannst du mit $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ "zurücksubsituieren"
also $\begin{eqnarray*} 1=x^2 \end{eqnarray*}$

Welche Zahlen erfüllen das?

Edit: was ich bisher auch nicht gesehen hab
$\begin{eqnarray*} f(t)=-(t-1)^3 \end{eqnarray*}$
Das verdeutlicht das ganze vllt. nochmal
oder $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{6}(x^2-1)^3 \end{eqnarray*}$

05.02.2007, 19:05

Hoffi1980

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Danke

wie siehst du das? Geht das nicht mit dem pascalschen Dreieck?
So soll die Aufgabe nämlich gelöst werden.

Der Ansatz stimmt nämlich, so ist das die Musterlösung:

-1/6 (x²-1)³

05.02.2007, 19:09

sqrt4

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trinomischen Formeln im Hinterkopf Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \end{eqnarray*}$

Mit dem Pascalschen dreieck würde es so gehen.

wie du oben siehst nimmt die Potenz von a immer um 1 ab und die von b steigt um 1 . das war im Bsp gegeben, nämlich ist $\begin{eqnarray*} a=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-1 \end{eqnarray*}$

05.02.2007, 21:08

Hoffi1980

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Ich check das Dreieck noch nicht so ganz

also

1
1 1
1 2 1
1 3 3 3 1

Die letzte Zeile entspricht ja meiner Ausgangsfunktion.

Woher weiß ich nun welches Vorzeichen ich wähle?

Muss das immer so sein? Eine Potenz nimmt zu und eine nimmt ab?

05.02.2007, 21:17

sqrt4

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ja grundsätzlich nimmt die eine zu, die andere nimmt ab.

Dir ist aber ein Fehler unterlaufen die letzte Zeile deines Dreiecks müsste

1 3 3 1
lauten

Edit:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^n \end{eqnarray*}$ wechselt das vorzeichen immer.(allg. für alle n. also auch im speziellen für n=3)

also in deinem Bsp

zuerst $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -3a^2b \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} +3ab^2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -b^3 \end{eqnarray*}$

06.02.2007, 14:44

Hoffi1980

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So dass hab ich nun geschnallt, also

$\begin{eqnarray*} 1/6*(-x^6+3x^4-3x^2+1) \end{eqnarray*}$

vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} x^6-3x^4+3x^2+1 \end{eqnarray*}$

so das ist nun nach Pasal Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^3 \end{eqnarray*}$

also ist bei x1=1 eine dreifache Nullstelle.

So jetzt kann ich noch anders schreiben:
$\begin{eqnarray*} [(x+1)(x-1)]^3 \end{eqnarray*}$ und sehe eine Nullstelle bei X2=-1

ist doch richtig oder?

Nun bilde ich die Ableitungen (von der vereinfachten Form, ich hoffe das geht):
f´(x)= $\begin{eqnarray*} 6x^5-12x^3+6x \end{eqnarray*}$
f´´(x)= $\begin{eqnarray*} 30x^4-36x^2+6 \end{eqnarray*}$

Nun setze ich die 1. Ableitung Null um die Extrema zu finden...

wie mache ich das denn nun, da habe ich doch wieder x^5 drin. Erstmal ausklammern? Ich weiß nicht weiter...

06.02.2007, 20:08

TommyAngelo

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Zitat:

Original von Hoffi1980
So dass hab ich nun geschnallt, also

$\begin{eqnarray*} 1/6*(-x^6+3x^4-3x^2+1) \end{eqnarray*}$

vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} x^6-3x^4+3x^2+1 \end{eqnarray*}$

schon mal falsch

06.02.2007, 20:19

sqrt4

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Zitat:

Original von Hoffi1980

Nun bilde ich die Ableitungen (von der vereinfachten Form, ich hoffe das geht):

zufällig geht (soll heißen du kommst auf die richtigen Extrema) das jetzt galub ich sogar in deinem Fall, aber grundsätzlich, das heißt auch hier, leite die urprüngliche Funktion ab !!! Alles andere bringt nur Ärger (spez. beim Lehrer)!!

06.02.2007, 20:24

Hoffi1980

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@tommy
ja die Vorzeichen, ist nen Schreibfehler. Danke

wie kommt man den nun auf die Extrema, man hat doch x^5?

06.02.2007, 20:37

sqrt4

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Zitat:

Original von Hoffi1980

f´(x)= $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{6}(6x^5-12x^3+6x) \end{eqnarray*}$

1. Nullstelle solltest du sofort sehen (x ausklammern)

Edit: hab mal den vorfaktor wieder dazugeschrieben. Das vereinfacht die Sache nämlich (zumindest fürs raten- okay man könnte auch ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Edit 2:

Mal sehen ob du den Transfer jetzt dann schaffst. Die Berechnung der Nullstellen geht ohne jegliches raten.

06.02.2007, 21:02

Hoffi1980

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Ich suche die Extrema.

Also habe ich abgeleitet wie beschrieben:
$\begin{eqnarray*} f´(x) = 6x^5-12x^3+6x \end{eqnarray*}$
dann durch 6 geteilt:
$\begin{eqnarray*} f´(x) =x^5-2x^3+x \end{eqnarray*}$
dann habe ich x ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} x(x^4-2x^3+x) \end{eqnarray*}$

jetzt wollte ich substituieren, aber wie? Habe ja $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$

OB ICH DIE AUFGABE MAL AUF DIE PALETTE BEKOMME? traurig

traurig

06.02.2007, 21:07

sqrt4

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Mir drehts zwar erneut bei deinen Umformungen den Magen um aber... ich seh jetzt mal drüber hinweg.(dein Lehrer wird das nicht tun )

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-x((x^2)^2-2x^2+1) \end{eqnarray*}$

Und jetzt binom. Formel anwenden $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

06.02.2007, 21:18

Hoffi1980

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Danke für deine Hilfe.

Da sich dir ja der Magen umdreht (PS. meine Proffs interessiert es nicht, wie ich an die Skizze komme), nenn mir doch deine Lösung, damit ich es mal richtig sehe... Freude

Freude

Wenn du $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ist dann dein Klammerinhalt nicht falsch? Vorzeichen meine ich?

06.02.2007, 21:22

sqrt4

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Das ist jetzt eigentlich schon schad immerhin hast du dich mit dem Pascalschen Dreieck so auseinandergesetzt... aber naja

So solltest du alle Nullstellen der Ableitung leicht sehen können ^^
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-x(x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

PS:

Wenn ein Polynom eine n-Fache Nullstelle im Puunkt a hat, dann hat die Ableitung immer noch eine (n-1) - fache Nullstelle im Punkt a. Könnte hier hilfreich sein

06.02.2007, 21:26

Hoffi1980

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Ah Danke,

aber warum -x, man klammert doch +x aus?

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} f´(x) =x^5-2x^3+x \end{eqnarray*}$

und machen daraus

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x(x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

Oder wieder falsch?

06.02.2007, 21:30

sqrt4

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naja du hast eben das minus, dass eigentlich dazugehört unter den Tisch fallen lassen.. aber darüber hab ich ja hinweggesehen.. im Prinzip is es zur Berechnung der Maxima egal...

Aber VORSICHT wenn du mit der 2. Ableitung überprüfen willst ob es sich um einen HOP oder TIP handelt dann darfst du das nicht unter den Tisch fallen lassen!!

06.02.2007, 21:35

Hoffi1980

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Danke

aber das meine ich, das verstehe ich noch nicht.

Wie untersuchst du denn die 1.Ableitung ohne "unter den Tisch fallen lassen".

Leitest du direkt die Stammfunktion ohne Vereinfachen ab? Dann würde ich das Minus behalten.

06.02.2007, 21:38

sqrt4

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RE: Ich bin zu ... Funktion x^6

Zitat:

Original von Hoffi1980
$\begin{eqnarray*} f(x) = 1/6*(-x^6+3*x^4-3*x^2+1) \end{eqnarray*}$

DAS ist die deine Funktion ohne irgendwelche Vorfaktoren und Minus unter Tisch fallen zu lassen...

abgeleitet gibt das

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{6}(-6x^5+12x^3-6x)=-x((x^2)^2-2x^2+1)=-x((x^2-1)^2) \end{eqnarray*}$
Demnach ist meine Ableitung richtig!!

06.02.2007, 21:40

Hoffi1980

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Du bist ein Freak (das soll ein Kompliment sein). Jetzt habe ich es soweit verstanden und werde mich daran setzen und erneut rechnen...

Morgen geht es dann weiter, denn ich denke nicht das ich alles so durchrechnen kann unglücklich

unglücklich

VIELEN DANK

06.02.2007, 21:59

Hoffi1980

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Wieder eine Frage, die Aufgabe lässt mich nicht los.

MATHEASS gibt folgende Extremwerte aus:

H1(0|0,166667)
T1(1|0)
H2(1|0)

Haben wir was falsch gemacht?

Ich komme auf -1 , 1 und 0

06.02.2007, 22:02

sqrt4

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Zitat:

Original von Hoffi1980

H1(0|0,166667)
T1(1|0)
H2(1|0)

Ich würd mich mal nicht auf dein Programm verlassen, weil was momentan dasteht schon etwas seltsam ist.

T1(1|0)

H2(1|0)

Dieser Punkt wäre also Hop und Tip zugleich verwirrt

verwirrt

1

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