Idealer Würfel das (mindestens/höchstens) Problem

09.10.2012, 20:09

jene

Idealer Würfel das (mindestens/höchstens) Problem

Meine Frage:
Moin ich hab ein Problem bei einer Aufgabe zur Binomialverteilung /Normalverteilung.
Kurz und knapp ich hab ein idealen Würfel und wird 7 nacheinander geworfen.Bestimme die Wahrscheinlichkeit dass: mindestens 2 eine Eins ergeben,aber höchstens 3 Einsen vorkommen.

Wie ich das "höchstens eine 3" berechnet hab ich rausbekommen ,blos bei mindestens 2 komm ich ins stocken.

Meine Ideen:
n=7
p=1/6
"höchstens 3" => wäre dann K 0 bis 3 ausrechnen : 96,8 %
" mindestens 2" glaub über die Gegenwahrscheinlichkeit , blos wie ?

09.10.2012, 20:15

HAL 9000

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Wenn ich mal mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl der Einsen bezeichne, dann bedeutet

mindestens 2 Einsen ... $\begin{eqnarray*} X\geq 2 \end{eqnarray*}$

und

höchstens 3 Einsen ... $\begin{eqnarray*} X\leq 3 \end{eqnarray*}$ ,

und beides zusammen demnach

$\begin{eqnarray*} 2\leq X\leq 3 \end{eqnarray*}$ ,

oder mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} X=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X=3 \end{eqnarray*}$ .

Insofern hast du hier

Zitat:

Original von jene
"höchstens 3" => wäre dann K 0 bis 3 ausrechnen : 96,8 %

viel zu viel herumgerechnet, statt vorher nachzudenken. Augenzwinkern

09.10.2012, 20:24

jene

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Schreib lieber mal den Orginal text Hin zum besseren Verständnis:

Ein idealer Würfel wird siebenmal nacheinander geworfen.Man bestimme die Wahrscheinlichkeit,dass unter diesen Würfen mindestens zwei ,aber höchstens drei Einsen vorkommen.

Ich kann doch nicht einfach die Wahrscheinlichkeit für 2 und für 3 ausrechnen?

09.10.2012, 20:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von jene
Ich kann doch nicht einfach die Wahrscheinlichkeit für 2 und für 3 ausrechnen?

Du kannst die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis 3 addieren, aber die von 2 bis 3 nicht??? Sehr merkwürdig. unglücklich

09.10.2012, 20:59

jene

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wenn ich das über die Normalverteilung mache, funktioniert das einwandfrei:
n=7
p=1/6
q=5/6
und 2 /3 die man dann bei Phi einsetzt
Erwartungswert = 7/6
Standardabweichung = 0.9860

Wenn jetzt ich Phi ausrechne bekomme ich laut Tabelle der Gaußschen Summenfunktion , denn Wert 0,9678 = 96,78 % und 0,7995 =79,95% || Ziehe nun die voneinander ab und erhalte dann 0,1683 = 16,83 %
Dann heist also die Antwort : Die Wahrscheinlichkeit das bei 7 mal würflen , mindesten 2 aber höchsten 3 die Eins kommt , liegt bei 16.83% ......

Sooo das zur Normalverteilung , jetzt weiß ich das immer noch nicht wie ich das über die Binomialverteilung hinbekomme

09.10.2012, 23:31

Math1986

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Zitat:

Original von jene
Sooo das zur Normalverteilung , jetzt weiß ich das immer noch nicht wie ich das über die Binomialverteilung hinbekomme

Die Normalverteilung ist bei diesen Werten auch völlig unbrauchbar.

Wie HAL 9000 schon sagte: Du musst eben nur die Wahrscheinlichkeiten von 2 bis 3 addieren. Im Startpost hast du doch auch die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 3 ausgerechnet, von 2 bis 3 machst du das genauso.

10.10.2012, 09:04

HAL 9000

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@jene

Ich hab in deinem Eröffnungsbeitrag das Stichwort "Normalverteilung" überlesen - wie aber Math1986 schon sagte, ist die hier überhaupt nicht sinnvoll anwendbar, weil bei diesem kleinen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hier die Normalverteilungs-Approximation der tatsächlich anzuwendenden Binomialverteilung noch fürchterlich schlecht ist. Soweit ich weiß, wird in der Schule die notwendige Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = np(1-p) {\color{red}\geq 9} \end{eqnarray*}$ genannt, damit man diese Approximation anwenden kann. Setz mal $\begin{eqnarray*} n=7,p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ein, dann siehst du, dass das meilenweit verfehlt wird.

Zudem ist es doch bei nur zwei Werten kein Beinbruch, direkt die Binomialverteilungswahrscheinlichkeiten auszurechnen - ich halte das nicht nur für genauer, sondern auch für einfacher, diese auszurechnen.

10.10.2012, 20:39

jene

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das mit der normalverteilung war auch nur meine notlösung ,weil ich das mit der binomialverteilung nicht hin bekommen hab...
das ding ist halt nur das ich während der Mathe vorlesung mit bekommen hab , dass ich bei der bionmialverteilung wenn da ein "mindestens ..." auszurechnen ist ,dies nicht einfach so über die ((n über k).......) Formel mache , sonderen es ist über die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechne.

z.b idealer würfel ... n=4 p=1/6
Aufgabe :bestimme die wahrscheinlichkeit dass mindestens eine Sechs vorkommt.
Antwort: $\begin{eqnarray*} (k \geq 1) \end{eqnarray*}$
1 - P(x<1) (x ist echt kleiner als 1 ) =1 - P(x=0)
dann hab ich das so vertanden dass das Ereigniss = "trittein oder oder es tritt nicht ein" , sprich für k wird 0 eingesetzt und das ganze - 1 : es kommt raus 0,5177 =51,77%

jetzt wieder zur meiner aufgabe , wo es heißt ,wenn es " mindesten 2 "vorkommt , jetzt sagt ihr mir dass einfach nur die wahrscheinlichkeit für 2 und 3 ausrechnen muss ??? verwirrt

so viel kopfzerbrechen für ein kleinen matheschein

11.10.2012, 00:32

chris_78

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Zu Deinem Beispiel.
Es gibt ja 8 mögliche Versuchsausgänge (Die "1" kann keinmal, einmal, zweimal, dreimal, ..., siebenmal vorkommen).
Die Wahrscheinlichkeiten für jeden dieser 8 Ausgänge können wir mit $\begin{eqnarray*} P(X=k)={n\choose k}\, p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ berechnen.
P(X=0)=0,2791
P(X=1)=0,3907
P(X=2)=0,2344
P(X=3)=0,0781
P(X=4)=0,0156
P(X=5)=0,0019
P(X=6)=0,0001
P(X=7)=0,0000036

(alle Werte auf 4 Nachkommastellen gerundet, nur den letzten auf 7Nachkommastellen um zu zeigen, dass der Wert zwar klein, aber eben nicht Null ist)
Alle diese acht Wahrscheinlichkeiten zusammen addiert ergeben 1 (also 100%, denn es gibt ja nur diese 8 möglichen Ausgänge).

Mindestens 2 Einsen bedeutet 2 oder mehr Einsen (also zwei, drei, vier, fünf, sechs oder sieben Einsen).
Es ergibt sich hier als Wahrscheinlichkeit dafür $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7) \end{eqnarray*}$

Höchstens 3 Einsen bedeutet 3 oder weniger Einsen (also null, eine, zwei oder drei Einsen).
Es ergibt sich hier als Wahrscheinlichkeit dafür $\begin{eqnarray*} P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) \end{eqnarray*}$

Nun heißt es aber mindestens 2 UND höchstens 3 Einsen (also 2 oder 3 Einsen)
$\begin{eqnarray*} P(2\leq X\leq 3)=P(X=2)+P(X=3) \end{eqnarray*}$

Soviel zur Aufgabe. Nun noch etwas zum Ausrechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit.

Für $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2) \end{eqnarray*}$ haben wir ja oben gesehen, müssten wir die sechs Werte von P(X=2) bis P(X=7) alle einzeln ausrechnen und zusammenaddieren.
Schneller kommt man da mit der Gegenwahrscheinlichkeit hin.
Und das Gegenteil von mindestens 2 ist eben weniger als 2 (also nullmal oder einmal die Eins würfeln)
Daher $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1) \end{eqnarray*}$

Oder anders erklärt:
Alle 8 Wahrscheinlichkeiten P(X=0) ....P(X=8) ergeben zusammen addiert 1(=100%)
1=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)

Will ich nun P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7) berechnen muss ich von 1 eben P(X=0) und P(X=1) abziehen.

11.10.2012, 14:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von jene
jetzt wieder zur meiner aufgabe , wo es heißt ,wenn es " mindesten 2 "vorkommt , jetzt sagt ihr mir dass einfach nur die wahrscheinlichkeit für 2 und 3 ausrechnen muss ???

So ein horrender Blödsinn, derart verstümmmelt hat das niemand gesagt - außer dir.

Lies dir bitte den gesamten Beitrag durch, das mit dem $\begin{eqnarray*} P(X=2)+P(X=3) \end{eqnarray*}$ bezog sich ausdrücklich auf "mindestens 2, aber höchstens 3". Also nicht einfach willkürlich was weglassen, das zerstört den ganzen Gedankengang! Forum Kloppe

Im übrigen hat sich chris_78 dankenswerterweise der Aufgabe angenommen, dir nochmal alles in extremer Ausführlichkeit zu erklären.

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