Ableitung von Funktionen 2

09.10.2012, 21:16

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung von Funktionen 2

Hi,

Hier für den Anfang zwei Fragen, danach folgen 2 Aufgaben:

1.
y = 2 * sin x + 4 * cos x

y`= 2 * cox x + 4 *(-sinx)

oder

y`= 2* cos x - 4*sinx

Warum stimmt beides? Ich verstehe dies mit den Vorzeichen nicht.

2.
y = 5*(3 - sin x + cos x)

y = 15 - 5 sin x + 5 cos x

y´= 5 (-cos x) - 5 sin x

oder

y´= 5 *(-cos x - sinx)

Verstehe hier auch die Vorzeichen nicht. (-cosx)?

Zu den Aufgaben die mir Schwierigkeiten bereiten:

1.
y = (3x - 2)^3

y = 9x^3 - 18x^3 + 27x + 8

Ich hoffe es stimmt soweit?
Wie geht es weiter?

2.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^4 + 5x^2}{5x^2} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

$\begin{eqnarray*} y` = \frac{4x^3 + 10x}{10x} \end{eqnarray*}$

Hier darf ich nicht kürzen? Genau verstehen tue ich es nicht.
Wie fahre ich fort...

lg

09.10.2012, 21:23

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

y`= 2 * cox x + 4 *(-sinx)=2* cos x - 4*sinx

Das ist etwas das dir überhaupt keine Probleme bereiten darf.
Dass das das (meine Güte sind das viele das(s)) Gleiche ist, muss dir sofort klar sein.
Es ist auch 3+(-5)=3-5=-2 etc!

Das gleiche gilt auch hier:
y´ = 5 (-cos x) - 5 sin x = 5 *(-cos x - sinx) = -5 *(cos x + sinx)

Du siehst es nun, wo ichs nochmals explizit aufschreibe und du explizit nachschaust? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Probiere das erneut. Du hattest mir die Formel glaube ich heute schon aufgeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
y = (3x - 2)^3

09.10.2012, 21:33

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von Funktionen 2
y = (3x - 2)^3

y = 9x^3 - 18x^3 + 27x + 8

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(3x)^3 - (3x)^2*2 + 3x*(2)^2 - (2)^3

81x^3 - 18x^2 + 12x - 8

lg

09.10.2012, 21:41

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von Funktionen 2

Zitat:

Original von Tipso
y = (3x - 2)^3

y = 9x^3 - 18x^3 + 27x + 8

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

(3x)^3 - 3(3x)^2*2 + 3*3x*(2)^2 - (2)^3

81x^3 - 18x^2 + 12x - 8

lg

Augenzwinkern

09.10.2012, 21:47

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel ist falsch?

Die 3 gehört gar nicht da hin wo ich sie hingestellt habe?

Ist dies eigentlich die Trinom-Formel oder?

y = (3x - 2)^3

y = 9x^3 - 18x^3 + 27x + 8

(a-b)³ = a³ - 3*a²b + 3*ab² - b³

(3x)^3 - 3(3x)^2*2 + 3*(3x*(2)^2) - (2)^3

ist hier die klammer bei 3*((3x)^2*2) notwendig?

27x^3 - 54x^2 + 36x - 8

Ableitung:

y´ = 2*27x^2 - 108x + 36

y´ = 81x^2 - 108x + 36

09.10.2012, 21:58

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von Funktionen 2
2.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^4 + 5x^2}{5x^2} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

$\begin{eqnarray*} y` = \frac{4x^3 + 10x}{10x} \end{eqnarray*}$

Ich glaube soweit ist es richtig.

Anzeige

09.10.2012, 21:59

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, hätte vllt doch noch ein paar klärende Worte anhängen sollen smile

smile

.

Du hast die Formel richtig hingeschrieben, nicht aber den folgenden Rechenverlauf.
Da hast du die 3 vernachlässigt.
So wie es nun da steht:
y=27x^3 - 54x^2 + 36x - 8
ist es richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Deine Ableitung ist ebenfalls richtig, auch wenn es im Rechenschritt nicht 2*27x²,
sondern 3*27x² heißt Augenzwinkern

Augenzwinkern

(scheint aber nur ein Schreibfehler zu sein).

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^4 + 5x^2}{5x^2} \end{eqnarray*}$

Um deine Frage nach dem Vorgehen zu beanworten: Erst mal kürzen!
Siehst du das nicht -> Quotientenregel.
Deine Ableitung ist falsch.

Zum Kürzen: Du darfst dann kürzen, wenn du Faktoren sowohl im Zähler und Nenner hast.
Da das bei uns nicht der Fall ist, musst du halt im Zähler erst mal Faktoren bestimmen.
Am einfachsten durch ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.10.2012, 22:00

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von Funktionen 2

Zitat:

Original von Tipso
2.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^4 + 5x^2}{5x^2} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

$\begin{eqnarray*} y` = \frac{4x^3 + 10x}{10x} \end{eqnarray*}$

Ich glaube soweit ist es richtig.

Leider nicht, du kannst nicht einfach Zähler und Nenner getrennt voneinander ableiten.
Siehe auch in meinem obigen Post Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.10.2012, 22:08

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich kann doch gar nicht kürzen da im Nenner ein Summand ist und mein Lehrer sagt immer aus einem Summand kürzst nur du. traurig

traurig

Quotientenregel hört sich gut an.

Aber diese soll nur mit Summen, Differenz und konstantenregel gekürzt werden..

lg

09.10.2012, 22:09

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von Funktionen 2
2.
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^4 + 5x^2}{5x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y` =( x^4 + 5x^2 )* 5x^{-1/2} \end{eqnarray*}$

so vielleicht?

09.10.2012, 22:14

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du im Nenner einen Summanden? Da hast du ein Produkt mit den
Faktoren 5 und x².
Bzw wäre da nur ein x², wäre es halt 1*x² und damit weiterhin ein Produkt!

$\begin{eqnarray*} y' = x^4 + 5x^2 * 5x^{-1/2} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist in mehrerlei Hinsicht falsch. Erstens -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^n}=x^{-n}\neq x^{-1/n} \end{eqnarray*}$ (i.A.)
Zweitens -> Holst du die 5 hoch, passiert das gleiche wie bei "Erstens". Auch hier ändert
sich die Potenz!
Drittens -> Die Klammer fehlt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tipp:
Klammere doch mal x² im Zähler aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

P.S.: Die Quotientenregel hast du übrigens nicht angewandt...
Das sollst du wohl auch nicht und hast du in deinem Nachpost auch nicht angewandt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2012, 22:25

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine

x^4 und 5x^2 das + = zwei Summanden.

also es müsste

$\begin{eqnarray*} y = x^4 + {5x^2} * 5^-1 x^{-2} \end{eqnarray*}$

Warum * eigentlich?

Da es mit ausklammern leichter bzw. besser geht:

$\begin{eqnarray*} y = x^4 + 5*(x^2) / 5(*x^2) \end{eqnarray*}$

Nun darf ich die 5 immer noch nicht kürzen da es mit + x^4 verbunden ist.

Es müsste es auf:

$\begin{eqnarray*} y =5* ( x^4 + x^2) / 5(*x^2) \end{eqnarray*}$

bringen.. Hammer

Hammer

Ps.
Was bedeutet: (i.A.)?
iim Ausgangspost?

lg

09.10.2012, 22:28

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

x^4 und 5x^2 das + = zwei Summanden.

Ja, das ist richtig. Lässt sich aber ändern...indem wir nicht 5 ausklammern, sondern x²...

$\begin{eqnarray*} y = x^4 + {5x^2} * 5^{-1} x^{-2} \end{eqnarray*}$

Fast richtig -> $\begin{eqnarray*} y = (x^4 + {5x^2}) * 5^{-1} x^{-2} \end{eqnarray*}$

Damit könnte man nun arbeiten, fordert die Produkt und Kettenregel und viel zu
aufwendig. Vorzuziehen immernoch das Ausklammern.

(Warum * -> Das ist der Gegenpart zur Division und das wollten wir Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

09.10.2012, 22:33

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von Funktionen 2
$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^4 + 5x^2}{5x^2} \end{eqnarray*}$

y = x^2 *(x^2 + 5) / 5x^2

y = x^2 + 5 / 5

y` = 2/ 5 * x

5 - fällt weg, konstantenregel.

Da unser x^2/5 geteilt werden muss haben wir 2/5 *x

Mich wundert es jedoch das sowas geht..
Und ich verstehe es nicht.

09.10.2012, 22:39

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Klammer fehlt: y = (x^2 + 5) / 5

Sonst ists richtig Freude

Freude

.

Was du gemacht hast, ist folgendes: Du hast erkannt, dass du den Zähler, welcher
momentan aus einer Summe besteht, faktorisieren kannst, also in ein Produkt
verwandeln kannst. Dir ist dabei bewusst, dass man nur Faktoren miteinander kürzen kann.
Das hast du dann auch getan und kommst auf y =(x^2 + 5)/ 5. Das abzuleiten
ist recht simple. Die Konstante ist hier übrigens 1 und nicht 5 Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.10.2012, 22:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Mich wundert es das ich bei einer Division ableiten kann.

y` = (x^2 +5)/5

2.

x^2 = 2* x; + 5 fällt weg

(2*x)/5 oder 2/5 * x

3.
Die Konstante ist hier übrigens 1?

Die Konstante ist doch + 5 in diesem Beispiel.

lg

09.10.2012, 22:48

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^2+5}{5}=\frac{x^2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{1}{5}x^2+1 \end{eqnarray*}$

Das nun ableiten -> $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{5}\cdot2x=\frac{2}{5}x \end{eqnarray*}$

Ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.10.2012, 22:51

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Equester
Ich verstehe nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^2+5}{5}=\frac{x^2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{1}{5}x^2+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich es, ich hatte den vorletzten Schritt nicht gemacht. ..

Thx.

Ich dachte (x^2 + 5) /5 kann ich nicht weiter kürzen aber du hast es getan Freude

Freude

09.10.2012, 22:54

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es nur auseinandergezogen und den konstanten Teil konnte man dann
in der Tat noch vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Dann ist alles klar? smile

smile

09.10.2012, 22:57

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich glaube schon. Bin noch etwas verwirrt.

(8 + 4)/4

8/4 + 4/4

2 + 1 = 3

Bei einer Division darf man also Summanden auseinanderziehen und kürzen. Jetzt verstehe ich es.

Thx.
Du machst das wirklich gut mit dem erklären etc. Ich tippe auf Lehrperson. smile

smile

09.10.2012, 23:00

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beispiel ist richtig! Beachte aber, dass das nur sorum klappt.

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{4+8}\neq\frac{4}{4}+\frac{4}{8}=1+1/2=1,5 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \frac{4}{4+8}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\neq1,5 \end{eqnarray*}$

Danke für das Lob Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Dein Tipp geht aber daneben.

13.11.2012, 01:46

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
[quote]Original von Equester
Ich verstehe nicht ganz:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^2+5}{5}=\frac{x^2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{1}{5}x^2+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich es, ich hatte den vorletzten Schritt nicht gemacht. ..

Thx.

Ich dachte (x^2 + 5) /5 kann ich nicht weiter kürzen aber du hast es getan Freude

Freude

Hier ist aber auch die 5 im Nenner eine konstante?

2.
Warum geht es andersrum nicht?

(3 + 4) /2 = (3/2) + (4/2)

2/(3+4) = ...
Mathematisch ergibt es nicht das gleiche Ergebnis aber warum?

lg

13.11.2012, 02:07

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ja, ist schon eine Konstante im Nenner, da kein x dabei ist. Normal meint man aber mit einer Konstante
den Summanden ohne x.

2. Eh ich wüsste nicht wie ich das in Worte fassen sollte :P.
Ist halt so?^^

13.11.2012, 15:59

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Passt.

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »