Differentialgleichung

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Majin25 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Edit (mY+): Hilfeersuchen sind unnötig und werden entfernt.

Hallo,

ich bräuchte Hilfe zu diesen DGLs:

1. Allgemeine Lösung von:

y'=1+x-y

>>> hier würde ich mit 1+x-y=z substituieren

und

y-xy'=(x^2+y^2)^0,5

>>> hier ist die wurzel das problem. Man könnte vllt. durch y teilen und dann versuchen, es in die wurzel zu transportieren, um mit dem y^2 unter der wurzel 1 zu werden. So könnte man vllt. x/y=z setzen.

Soweit zu den Ansätzen...mehr habe ich aber noch nicht.

2. Lösung der DGL mit konstanten Koeffiz:

y''+2y'-3y=0 mit den Anfangswerten y(0)=1 und y'(0)=-1


Vielen Dank im voraus...
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Majin25,

erstmal zu 1). Deine Differentialgleichung sieht ja so aus: .
Jetzt hast du substituiert: . Soweit so gut. Was du dann gemacht hast kann ich nicht mehr nachvollziehen. Ich würde nun die Ableitung von z bilden: . Da ist, kann man auch schreiben: Was du jetzt machen solltest wäre mit Hilfe der Methode der Trennung der Variablen z zu bestimmen. Das kannst du ja mal versuchen.

zu 2) Hier muss man erst die charakteristische Gleichung aufstellen. Deine Gleichung:
. Analog dazu die charakteristische Gleichung:

. Das ist eine quadratische Gleichung, die man lösen kann und man somit die Werte für und erhält.
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung sähe dann so aus:


Hier kannst du schon mal deine Lambdas einsetzen. Davon kannst du dann noch die Ableitung nach x bilden.

Mit den beiden Anfangswerten und kann man dann und bestimmen. Einfach den Wert Null für x in bzw. einsetzen und diese gleich 1 bzw. -1 setzen. Damit hat man ein einfaches Gleichungssystem, das gelöst werden will.
Schau mal wie weit du hier kommst.

Mit freundlichen Grüßen.
Majin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen dank sehr nett.

Mein Fehler. Das sind zwei verschieden dgls. Deshalb kannst du es nicht nachvollziehen. Hab es bloed aufgeschrieben sorry...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur DGL , falls es noch von Interesse ist:

Die Substitution führt zu , was eingesetzt dann



ergibt, das ist eine DGL mit trennbaren Variablen.


Übrigens: Ich kann mir nur schwer vorstellen, dass das Schulstoff ist. Augenzwinkern
Majin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungen

1. Dgl

Ln|x-y| = x+ K mit partikulaerer loesung x=y

2. Dgl

Y= arsinh (-Ln|x|) + k

3. Dgl

Y= 4/3 e^-X + 1/3 e^3x

Ist das richtig? Erste beiden mit tdv und die dritte mit charakteristischer Gleichung gerechnet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin25
2. Dgl

Y= arsinh (-Ln|x|) + k

Das ist falsch. Wenn du sinh statt arsinh schreibst, dann ähnelt es wenigstens der Lösung für (siehe Substitution), aber auch die trifft es nicht ganz.

Tatsächlich sieht die allgemeine -Lösung am Ende so aus:

mit Parameter .
 
 
Majin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Arcsinh(x/y) = -LN X + k

Das muss doch passen. Ich hatte vorher die ruecksub vergessen.
1/(z^2+1) integriert ist Arcsinh z. Das andere ist eh klar.

Ist das wirklich falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin25
Arcsinh(x/y) = -LN X + k

Das muss doch passen

Für alle ? Geht schon mal nicht, weil für gar nicht im reellen definiert ist.

Zeig doch mal deinen kompletten Lösungsweg, dann zeige ich dir auch die Schwachstellen.
Majin25 Auf diesen Beitrag antworten »

bei wolfram alpha kommt das raus

y(x)=-x*sinh(ln(x)-c)

ich habe:

arcsinh(y/x)=-ln x + k

wenn ich jetzt nach y auflöse dann bekomm ich doch auf der anderen seite sinh oder?

das würde es passen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Majin25
bei wolfram alpha kommt das raus

Ich wiederhole zum letzten Mal: Im Fall x<0 kann das nicht sein.

Außerdem ist Wolfram Alpha keine seriöse Referenz, es gibt genug Fälle, wo die CAS versagt haben. So nützlich die CAS auch sind - du solltest dir angewöhnen, die CAS-Resultate kritisch zu hinterfragen.

P.S.: Im übrigens ist ein bloßer Verweis auf Wolfram Alpha nicht das, was ich mir unter "zeig mal deinen Lösungsweg" vorstelle.
Majin25 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry hatte heute bis abends uni und war deshalb kurz angebunden.

Versuche es gleich zu posten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest auch berücksichtigen, dass ist, und man deshalb statt (zumindest m.E.) viel freundlicher schreiben kann: Aus einer scheinbar komplizierten Verkettung transzendenter Funktionen wird plötzlich eine rationale Funktion...
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