Nullstellenberechnung durch Faktorzerlegung

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10.10.2012, 00:47	MasterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellenberechnung durch Faktorzerlegung Meine Frage: Hi Leute, Habe mal ne Frage zur Methode der Faktorzerlegung: An welchen Arten von Funktionen kann man diese benutzen und könnte vllt. einer das Verfahren schrittweise erläutern, was ich machen soll da ? Meine Ideen: Ich hab mir gedacht, dass bei der Funktion jede Zahl n x haben muss, also nur so f(x)=x³+2x²+7x, als kein Glied ohne x, stimmt das ? gäbe es was zu ergänzen? und wie zerlege ich das jetzt ?
10.10.2012, 00:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du hier mit der Faktorzerlegung das generelle zerlegen einer Funktion in ihre Linearfaktoren, oder beziehst du dich explizit auf das ausklammern einer x-Potenz? Generell kann man diese Faktorzerlegung nämlich bei jeder Funktion durchführen, die auch tatsächlich reelle Nullstellen hat. $\begin{eqnarray} g(x)=x^2+1 \end{eqnarray}$ könnte man zum Beispiel nicht in linear Faktoren zerlegen. Nun hast du folgende Funktion vorliegen: $\begin{eqnarray} f(x)=x^3+2x^2+7x \end{eqnarray}$ was möchtest du genau mit ihr machen? Die Nullstellen bestimmen? Eine Faktorzerlegung ist deshalb nicht wirklich zur Nullstellenbestimmung geeignet, da man dafür die Nullstellen eigentlich schon wissen muss, wenn die Funktion nicht in ihren linear Faktoren vorliegt so wie bei deiner Funktion. Bei einer Funktion wie: $\begin{eqnarray} h(x)=(x-1)(x-2)(x+3)(x-8) \end{eqnarray}$ sähe es wieder anders aus. Diese liegt in ihren linear Faktoren vor und die Nullstellen sind ablesbar. Um wieder auf die Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ zurück zukommen. Um die Nullstellen zu finden Klammere ein x aus. Danach kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden (den du meiner Meinung nach gerade mit der Faktorzerlegung meinst) und mit der pq-Formel weiter rechnen.
10.10.2012, 01:00	asterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also folgendes ist die Aufgabe: a) Für welche Art ganzrationaler Funktionen kann dieses Verfahren benutzt werden? b) Erläutere das Verfahren c) Berechne die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^4-3x^2-4 \end{eqnarray}$ d) Berechne die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=(4-x^2)^2(8-x^3)(2+x) \end{eqnarray}$ Der Aufgabenstellung habe ich entnommen, dass ich mit der Methode Faktorzerlegung Nullstellen bestimmen kann
10.10.2012, 01:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Wie oben bereits gesagt, kann dieses Verfahren eigentlich für alle ganzrationalen Funktionen genutzt werden, die auch tatsächlich reelle Nullstellen haben. Ein einfaches Gegenbeispiel ist oben bereits auch angegeben. b) Hatte ich oben mehr oder weniger auch schon etwas gesagt. Man verwendet den Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist dann Null wenn einer der Faktoren Null ist. c) Denke hier an die Substitution $\begin{eqnarray} x^2=z \end{eqnarray}$ d) Hier kannst du mit dem Satz vom Nullprodukt schön arbeiten. Achte auf doppelte Nullstellen. Jetzt liegt es an dir eigene Gedanken zu formulieren. Ich habe bereits eine Menge vorgegeben. Sinnvolle Hilfe kann ich außerdem auch nur für die Aufgabenteile c) und d) anbieten. Eine Formulierung für a) und b) solltest du selber hinbekommen. Dazu habe ich jedoch schon vieles gesagt.
10.10.2012, 01:11	asterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles Klar, ich danke dir vielmals eine Frage hab ich da allerdings noch: ich soll bei aufgabe c) ebenfalls die faktorzerlegung benutzen, könntest du mir schrittweise zeigen, wie ich die Funktion in die einzelnen faktoren zerlege ?
10.10.2012, 01:13	asterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
AHHH ich sehs grade! ich hab aufgabe c) falsch abgeschrieben! die richtige FUnktion wäre: $\begin{eqnarray} f(x)=x^4+1,5x^3-x^2 \end{eqnarray}$ Da bräuchte ich jetzt deine Hilfe, wie man die Funktion schrittweise in ihre Faktoren zerlegt :/
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10.10.2012, 01:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem du zu erst mittels Substituion die Nullstellen der Funktion bestimmst und am Ende sie in dieser Schreibweise angibst. Vorrechnen kann ich dir die Aufgabe natürlich nicht. Das widerspricht dem Prinzip dieses Forums. Wir können es gerne gemeinsam machen. Edit: Neue Funktion neues Glück. Wie gesagt, können wir es gerne gemeinsam lösen. Wie sehen deine Ideen aus? Tipp: Denke zu erst ans ausklammern.
10.10.2012, 01:24	asterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok beim ausklammern sähe die Funktion dann folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} 0=x^2(x^2+1,5x) \end{eqnarray}$ x1 wäre dann x1=0, wegen dem satz des Nullprodukts Als nächstes noch $\begin{eqnarray} 0=x^2+1,5x \end{eqnarray}$ dafür die P-Q-Formel: $\begin{eqnarray} x_{2/3}=- 0,75\pm \sqrt{- 0,75^{2} } \end{eqnarray}$ dann wären x_{2}= auch 0 und x_{3}=-1,5 richtig ? die Schreibweise für die Faktorzerlegung ist dann .... $\begin{eqnarray} f(x)=(x-0)(x-0)(x+1,5) \end{eqnarray}$ Sieht alles n bisschen komisch aus, könnte schwören da is n fehler drin
10.10.2012, 01:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder sieht die Funktion nach dem ausklammern eher so aus? $\begin{eqnarray} x^2(x^2+1.5x-1)=0 \end{eqnarray}$ Das deine Ausklammerung falsch ist kannst du leicht überprüfen indem du die $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ wieder ausmulitplizierst. Du erhältst nicht die ursprüngliche Funktion. Die Vorgehensweise ist allerdings korrekt.
10.10.2012, 01:30	asterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die Aufgabe hab ich jetzt erstmal gelöst, was ist eigentlich der Unterschied zwischen Linearfaktorzerlegung und Faktorzerlegung ?
10.10.2012, 01:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen da gibt es keinen Unterschied. Das meint beides das selbe. Eine Funktion kann man jedoch schlecht in einzelne Faktoren zerlegen, wie man Beispielsweise eine Zahl in Primfaktoren zerlegt. Wenn du magst kannst du dein Ergebnis noch posten.
10.10.2012, 01:49	asterYi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok folgendes hab für c) die Nullstellen: x1=0 x2=0,5 x3=-2 und für d) die Nullstellen: x1=2 x2=-2 [x3=2] [x4=-2]
10.10.2012, 01:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du x=0 ist eine doppelte Nullstelle. Wir klammern ja 2 mal das x aus $\begin{eqnarray} x_{1,2}=0<br /> <br /> x_3=0.5<br /> <br /> x_4=-2 \end{eqnarray}$ Für die Darstellung in Faktoren ist die doppelte Nullstelle wichtig. Ansonsten fehlt eine. Für d) ist alles korrekt. Edit: Hier musst du jedoch noch auf die Quadrierung achten.

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