Partialbruchzerlegung

10.10.2012, 17:29

L.A.

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RE: PBZ mit x³

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x²+1}{x³+x²+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x²+1}{x(x²+x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x²+1 = A (x²+x+1) + (Bx + c) * x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x²+1 = Ax² + Ax + A + Bx² + cx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = A + B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = A + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x²+1}{x³+x²+x} = \int \frac{1}{x} + \frac{1x-1}{(x²+x+1)} \end{eqnarray*}$

Beim Koeffizientenvergleich hatte ich auf der rechten Seite x-Werte aber nicht auf der linken Seite. Darum habe ich es gegen 0 gesetzt. Stimmt das so?

10.10.2012, 17:31

Equester

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Passt sehr gut soweit Freude

Freude

.

10.10.2012, 17:35

L.A.

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Integrieren:

$\begin{eqnarray*} ln(x) + \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x²+x+1}dx - 3 \int \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2x+1}{3}}^2 \right) +1} \end{eqnarray*}$ ]

10.10.2012, 17:45

Equester

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Hmm, mit dem letzten Bruch bin ich nicht ganz so zufrieden.
Wir waren gerade noch quadratisch im Nenner, das sind wir nun nicht mehr, da sich
Quadrat und Wurzel einfach aufheben.

Sollte der Nenner nur eine Umformung vom alten sein, ist er außerdem falsch.
Die 3 ganz vorne brauch auch noch einen Nenner -> nämlich 2.

Betrachten wir dafür mal schnell nur den Zähler.

Wir haben bei dir: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(2x+1)-3=x+\frac{1}{2}-3 \end{eqnarray*}$
Wir brauchen ja aber x-1 (so lautet der Zähler ja ursprünglich.
Also statt 3 nehmen wir 3/2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 17:56

L.A.

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Ich habe die Werte in der obrigen Formel eingesetzt und bei mir kommt das raus. Was soll jetzt rauskommen?!

10.10.2012, 17:59

Equester

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Deine Formel sieht aber schon ein wenig anders aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} \frac{B}{2} \int \frac{2x+a}{x²+ax+b} dx + \frac{4C-2aB}{4B-a²} \int \frac{1}{(\frac{2x+a}{\sqrt{4B} -a²} )^2 +1} dx \end{eqnarray*}$

Wo ist hier das Quadrat? Wo die Wurzel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Dann sieht die Sache auch gleich besser aus!

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10.10.2012, 18:14

L.A.

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Da habe ich die Formel falsch angegeben. Die Wurzel geht richtigerweise über 4B und a²

10.10.2012, 18:18

Equester

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Ändert nichts daran, dass deins falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Deine Wurzel geht über den Zähler, hier nur über den Nenner!
Verbessere das und kontrolliere erneut den konstanten Faktor vor dem Integral Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 18:22

L.A.

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Jetzt kriege ich das raus:

$\begin{eqnarray*} ln(x) + \frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x²+x+1}dx - \frac{2}{3} \int \frac{1}{\frac{(2x+1)^2}{4}+1} \end{eqnarray*}$

10.10.2012, 18:45

Equester

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Der Nenner im Nenner heißt wohl 3 und nicht 4 ->4B-a²=3

10.10.2012, 18:58

Equester

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Also ich weiß ja nicht, ich bin von deiner Formel nicht so überzeugt :P.
Du hattest ja schon zugegeben, einen Fehler drin gehabt zu haben, zumal
ich nicht weiß, was denn das C soll.
Auch komme ich mit dem Nenner nicht ganz klar...selbst habe ich was anderes
raus und das auch mittels Programm überprüft, was richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Bei dem deinigen hatte ich deinen Fehler gesehen (3, statt 4) und nach einem
Rechenfehler dir vertraut :P. Jetzt nochmals nachgerechnet, komme ich nicht
auf den geforderten Nenner...

Machen wirs mal ohne die Formel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Da lies nochmals meinen zweiten Post durch -> Der sagt, wie der Vorfaktor aussehen muss
(Das war ja -3/2...bei dir -2/3 verwirrt

verwirrt

).

Dann kümmern wir uns um den Nenner -> quadratische Ergänzung Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 18:59

L.A.

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stimmt.aber jetzt ist alles richtig? weil habe noch eine zweite Aufgabe, wo der Koeffizientenvergleich nicht klappt:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^4-4x^3-6x²+4x+5}{x^4-x^3-6x²} \end{eqnarray*}$

Faktorisierung:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^4-4x^3-6x²+4x+5}{x (x³-x²-6)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x³-x²-6)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4-4x^3-6x²+4x+5 = A (x^4-4x^3-6x²+4x+5) + B * X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4-4x^3-6x²+4x+5 = ax^4- 4ax^3-6ax²+4ax+5a + bx \end{eqnarray*}$

1 = A
4 = -A
6 = -A
4 = 4A + B
5 = 5

?! Ich nehme ja immer die Faktorisierung. Habe aber auch die Nullstellen von x² (x²-x-6) ausgerechnet:
x1 = 0, x2 = 0, x3= 3, x4 = -2..

10.10.2012, 19:07

Equester

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Ohne es bisher genauers angeschaut zu haben:
Partialbruchzerlegung funktioniert nur dann, wenn der Nenner echtgrößer ist als der Zähler.
Du musst also erst mal ne Polynomdivision gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zur alten Aufgabe: Der Formel ist genüge getan, soweit ich das entziffern konnte.
Wie ich aber im Vorpost schon sagte, werde ich mit dieser Formel nicht ganz warm.
Meine Werte sind etwas anders Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Wenn man deins zuende rechnet (und ich das richtige genommen habe), passt
es bis auf den Vorfaktor. Da ists um den Kehrwert falsch verwirrt

verwirrt

.
Nimm lieber meine Tipps von oben an. Da braucht es keine Formel und geht
genauso einfach wie schnell Big Laugh

Big Laugh

.

10.10.2012, 19:07

L.A.

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aso nicht gesehen.. aber die Formel sollen wir in der Klausur nutzen, aber können gerne es anders machen.

Edit: Aso, ich dachte man macht keine Polyn. wenn Exponenten Größer oder Gleich sind! Nur wenn kleiner..

Also Exponenten des Nenners kleiner oder gleich große wie Expo. Zähler dann Polyn.?

10.10.2012, 19:10

Equester

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Wie gesagt, ich kenne die Formel nicht und hab auch grad kein Tafelwerk zur Hand,
wo die drin steht.
Überprüfe diese nochmals, bzw. vergleiche unser Ergebnis mit dem deinigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du kannst mir die Formel auch nochmals sauber hinschreiben (und erklären wo C
herkommt :P) dann kann auch ich nochmals schaun Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Persönlich finde ich die Formel aber wie gesagt unnötig. Ist eigentlich schnell gemacht.
Zähler muss passen, quadratische Ergänzung im Nenner und man ist ja schon fast fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 19:11

Equester

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Zitat:

Original von L.A.
Edit: Also Exponenten des Nenners kleiner oder gleich große wie Expo. Zähler dann Polyn.?

Genau

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 19:22

L.A.

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ok dann hier:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^4-4x^3-6x²+4x+5}{x^4-x^3-6x²} \end{eqnarray*}$

Ergebnis Polyn.:

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{3x³+4x+5}{x^4-x³-6x²} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x³+4x+5}{x²(x²-x-6)} = \frac{A}{x²} + \frac{B}{(x²-x-6)} \end{eqnarray*}$

=> 3x² + 4x + 5 = ax² - ax -6a + bx²

3 = a+b
4 = -a
5 = -6a

10.10.2012, 19:32

Equester

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Nope, da hast du nicht vollständig den Nenner zerlegt.
x²-x-6 kannst du weiter zerlegen und x² ist eine doppelte Nullstelle. Dein Ansatz
passt nicht dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

P.S.: Das - das du vor den Bruch ziehst bezieht sich allein auf 3x² Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 20:12

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x³+4x+5}{x²(x²-x-6)} = \frac{A}{x²} + \frac{B}{(x-2)(x+3)} \end{eqnarray*}$

oha wie der Ansatz passt nicht?

10.10.2012, 20:20

Equester

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Schaue nach unter mehrfacher Nullstelle für den Umgang mit x²: [WS] Partialbruchzerlegung

Warum ordnest du (x+2) und (x-3) dem B zu?
(Beachte, dass du die Rechenzeichen falschrum gesetzt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
(Außerdem vergesse das Minus vor dem 3x³ nicht!)

10.10.2012, 20:33

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x³+4x+5}{x²(x²-x-6)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x)^2} + \frac{C}{(x-2)} + \frac{D}{(x+3)} \end{eqnarray*}$

Bei B nicht sicher. Aber der Rest müsste doch passen oder?

Edit: bei pq kommt -2 und 3 raus--- warum jetzt 2 und -3??

10.10.2012, 20:36

Equester

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Wenn du meinem Post mehr als die erste Zeile abgewinnen könntest :P.

Der zweimalige Hinweis bezüglich dem Minus vor dem 3x³.
Und der bisher einmalige Hinweis: (x+2) und (x-3) anstatt wie bei dir die
vertauschten Vorzeichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Sonst aber passts.

10.10.2012, 20:38

L.A.

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Edit: bei pq kommt -2 und 3 raus--- warum jetzt 2 und -3??

also

$\begin{eqnarray*} \int \frac{-3x³+4x+5}{x²(x²-x-6)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x)^2} + \frac{C}{(x+2)} + \frac{D}{(x-3)} \end{eqnarray*}$

10.10.2012, 20:41

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich zufrieden Freude

Freude

.

Die Anwendung der pq-Formel musst du mir wohl mal zeigen.
Du hast beachtet, dass der erste Summand ein negatives Vorzeichen hat?
Bzw. da p negativ ist, eben gerade nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.10.2012, 20:50

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right) ^2 +6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} +\frac{24}{4} } \end{eqnarray*}$

1/2 + 5/2 = x1 = 3
1/2 - 5/2 = x1 = -2

10.10.2012, 20:52

Equester

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Aso, es lag nur an der Interpretation des Ergebnisses Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Das ist so richtig, L.A..

Doch bedeutet dies (x-3) für x1=3. Denn wenn man für x nun 3 einsetzt, ergibt die Klammer 0.
Selbiges gilt für x2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

10.10.2012, 20:56

L.A.

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aso, merke ich erst jetzt, stimmt.

aber den Anatz einer doppelten Nullstelle verstehe ich nicht. Also A und B.

Ich habe x² . So jetzt schreibe ich ein x unter A --- dann hätte ich ja quasi noch ein x über (x*x=x²) aber unter b tue ich wieder x². Klar es sind Summanden A und B aber macht gar kein Sinn! bei x³ hätte ich dann x x² x³ ?

10.10.2012, 21:03

Equester

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Hmm, ich kann dir nur anhand eines Beispiels zeigen, dass auch die niederen Grade
eine Rolle spielen. Es mit Worten zu erklären fällt mir ein wenig schwer.
Aber wie sagt man: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Das kannst du mit der PBZ machen, oder direkt den Bruch auftrennen.
Du siehst, inwiefern auch niedere Grade eine Rolle spielen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
P.S.: Ja, für x³ wäre die Aufspaltung in x, x² und x³ nötig.

10.10.2012, 21:07

L.A.

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ah. Ich glaub mein Defizit für Bruchrechnen war durchgekommen. Erweitere ich den Ersten Bruch mit x um die beiden Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen dann habe ich ja x/x² wieder ... das habe ich gar nicht gesehen.

10.10.2012, 21:08

Equester

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Genau so ist es Freude

Freude

.

10.10.2012, 21:18

L.A.

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Die Aufgabe ist aber richtig pervers:

$\begin{eqnarray*} -3x³-4x+5 = A x(x+2) (x-3) + B (x+2)(x-3) + C * x² (x-3) + D x²(x+2) \end{eqnarray*}$

muss man echt alles und jenes ausmultiplizieren?

10.10.2012, 21:20

Equester

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man? vllt
ich? not
du? sicherlich

Big Laugh

Big Laugh

10.10.2012, 21:26

L.A.

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$\begin{eqnarray*} = xa³ - 3ax² + 2ax² - 6ax + bx² - 3b²x + 2b²x + cx³ - 3cx² + dx³ + 2dx² \end{eqnarray*}$

haha

10.10.2012, 21:28

Equester

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Ich warte mal das Ergebnis ab :P.

Das war oben übrigens nur halb im Scherz gesprochen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Es gibt mehrere Methoden die PBZ zu lösen. Die wohl angenehmste ist die
Zuhaltemethode (wenn auch nicht immer anwendbar).
Aber mach du das ruhig auf deinem Weg. So müsst ihrs wahrscheinlich auch in
der Klausur angeben. Sollte es dich doch interessieren...den Link hast du ja Big Laugh

Big Laugh

.

10.10.2012, 21:47

L.A.

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"Wir" kennen eigentlich drei Methoden. Ich mache aber immer Koeffverg. haha

habe raus:

ax³ - ax² - 6ax + bx² - 1b²x + cx³ - 3cx ² + dx³ + 2dx²

-3 = A + C + D
0 = -A +B - 3C + 2D
-4 = -6A
5 = ...

:/

10.10.2012, 21:53

Equester

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Soweit richtig,
allerdings fehlt bei der Zeile mit -4 ein Eintrag und die letzte Zeile komplett.

(Wie auch im Vorpost hast du übrigens ein paar ² durcheinandergewürfelt Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

10.10.2012, 22:46

L.A.

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ja für die letzte Zeile habe ich ja ncihts.. überall steht ein x dabei.

10.10.2012, 22:51

Equester

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Dann schau dir nochmals den zweiten Summanden an.

Du solltest dann die letzten beiden Zeilen noch erweitern können Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

12.10.2012, 13:19

L.A.

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Ne kommt nichts sinnvolles raus. Ich kenne noch die Einsetzmethode sprich Nullstellen einsetzen. Ist das hier an dieser Stelle besser?

12.10.2012, 16:11

Equester

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Hab mein Zettel grad verlegt und muss es nochmals durchrechnen, aber
die Ergebnisse waren in der Tat nicht schön. Unschöne Brüche waren das.

Die Grenzwertmethode ist hier nur mäßig ansetzbar. Will heißen für A kannst du
keine Aussage treffen, sehr wohl aber für B,C und D. Dann auf A zu schließen ist kein
Problem mehr...und übrigens mein Vorgehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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