Vektoren, linear abhängig - Basis bestimmen

10.10.2012, 18:12

Chillsy

Vektoren, linear abhängig - Basis bestimmen

Meine Frage:
Hallo, ich habe vier Vektoren gegeben:
v1=(1,2,0,1) / v2=(1,-1,1,1) / v3=(0,1,1,1) / v4=(2,-1,-1,0)

Ich sollte sie auf lineare Unabhängigkeit überprüfen und dann sollte ich eine Basis des Untervektorraums U von den oben genannten Vektoren bestimmen.

Meine Ideen:
Auf lineare Unabhängigkeit habe ich mittels Gaußverfahren geprüft, dabei kommt eine Nullzeile heraus -> linear abhängig, Dimension = 3ö.
Aber wie gehe ich weiter vor um eine Basis zu bekommen?

Bitte um Hilfe

10.10.2012, 18:47

Helferlein

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Welchem Vektor entsprach denn die Nullzeile, die Du bekommen hast?

10.10.2012, 19:18

Chilsy

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Danke für die schnelle Antwort, aber ich verstehe deine Frage nicht ganz. Also ich habe die Matrix soweit umgeformt, dass sie nun so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.10.2012, 19:51

Helferlein

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Ich bin davon ausgegangen, dass Du die Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben hast und dann umgeformt. Eine der vier Zeilen wird dabei zur Nullzeile und das ist in der Ausgangsmatrix der Vektor, den du rausschmeissen kannst.

Wenn Du natürlich mit Spaltenvektoren gearbeitet hast, sieht das etwas anders aus.

10.10.2012, 20:03

Chilsy

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Sry, dass ich nicht transponiert dazu geschrieben habe.
Aber gibt es irgendeine Möglichkeit herauszufinden, welcher Vektor von den anderen abhängig ist?

10.10.2012, 20:28

Helferlein

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Wenn du die Vektoren als Spalten genommen hast und dann nur Zeilenumformungen durchgeführt hast, hast Du ein GLS bearbeitet, dass die Gewichtungen für den Nullvektor angibt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i =0 \end{eqnarray*}$

Wenn Du Dir Gedanken um die Lösung machst, wirst Du sehen, welchen Vektor Du rauswerfen kannst.

11.10.2012, 08:32

Chilsy

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Wenn ich jetzt vorige Matrix löse bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} t * \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> heißt das jetzt, dass ich den Vektor v1 rauswerfen kann?

11.10.2012, 17:42

Helferlein

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Mal abgesehen davon, dass $\begin{eqnarray*} 0-1+2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ (erste Koordinate von Ax), wieso sollte ausgerechnet $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ überflüssig sein, wo Du $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ heraus hattest?

Vektoren sind linear abhängig, wenn man mindestens einen durch die anderen darstellen kann. Wie soll das mit der Gewichtung 0 funktionieren?

11.10.2012, 18:24

Chilsy

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jetzt bin ich irgendwie verwirrt. Mir ist klar, dass lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass ich einen Vektor durch die anderen darstellen kann, aber ich weiß nicht wie ich herausfinde welcher es ist.
Kannst du mir nur vieleicht kurz erklären wie ich dabei vorgehen muss um dies herauszufinden?

11.10.2012, 18:51

Helferlein

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Nehmen wir ein ganz einfaches Beispiel:
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind die Zahlen 1 und 2 als Vektoren gesehen linear abhängig, denn es ist beispielsweise $\begin{eqnarray*} 2\cdot1-1\cdot2=0 \end{eqnarray*}$ . Durch Umformen können wir entweder eins durch 2 ( $\begin{eqnarray*} 1=\frac12\cdot2 \end{eqnarray*}$ ) oder zwei durch eins ( $\begin{eqnarray*} 2=2\cdot1 \end{eqnarray*}$ ) ausdrücken

In diesem Fall kann also einer der beiden Vektoren entfernen werden und es entsteht ein offensichtlich linear unabhängige System bestehend aus der 1 oder der 2.

Bin jetzt erst mal eine Stunde weg, danach aber wieder für Fragen hier. Wink

11.10.2012, 19:09

Chilsy

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Ok, danke für die Hilfe.
Das verstehe ich, dass ich durch addieren/subtrahieren der einzelnen Vektoren (auch Vielfache davon) einen Vektor aus diesen ausdrücken kann.
Aber wie finde ich heraus, welche Vektoren ich addieren oder subtrahieren bzw mit welchem Faktor multiplizieren muss, damit ich auf den einen Vektor komme, wenn ich nicht weiß, welchen Vektor ich durch die anderen drei ausdrücken muss.
Geht das nur durch probieren, oder gibt es da irgend ein Rezept um herauszufinden, welcher Vektor überflüssig ist?

11.10.2012, 20:37

Helferlein

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Du hast doch die Koeffizienten als Lösung des Gleichungssystems und somit eine Gleichung der Art $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4\lambda_i\cdot v_i=0 \end{eqnarray*}$ .
Wann kannst Du diese Gleichung nach einem $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ umformen?

11.10.2012, 20:58

Chilsy

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Ja wenn ich keine Nullzeile habe oder?

11.10.2012, 22:27

Helferlein

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Ich glaube Du denkst gerade etwas falsch. Du hast oben doch selber geschrieben:

Zitat:

Original von Chilsy
Wenn ich jetzt vorige Matrix löse bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} t * \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten dieses Vektors sind (abgesehen vom oben erwähnten Rechenfehler) die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ .
Du denkst vermutlich noch an die Matrix, aber die interessiert uns doch gar nicht mehr. Es geht einzig um den Lösungsvektor (oder im allgemeinen Fall die Lösungsmenge).

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