Vollständige Induktion aus Rekursion

10.10.2012, 18:39

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Vollständige Induktion aus Rekursion

Meine Frage:
Durch die Rekursion
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{x_n^2+2}{3},x_1 = 0 \end{eqnarray*}$
wird eine Folge
$\begin{eqnarray*} x_n , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert.
i)Berechnen Sie die ersten 4 Folgenglieder.
ii)Berechnen Sie den möglichen Grenzwert der Folge.
iii)Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Folge streng monoton wachhsend ist.n , n

Meine Frage lautet nun wie kann ich eine Rekursive Formel in eine normale Umwandeln ? Gibt es dazu einen Trick ?
Bei einfachen gelingt es mir indem ich die Ergebnisse übersichtlich hinschreibe und ein bisschen herumexperimentiere.
Aber diesmal will es mir einfach nicht gelingen. Gibt es irgendwelche Tricks oder so ?

Ich hoffe um Beistand

Mit freundlichen Grüßen

Triz

Meine Ideen:

Die ersten paar Ergebnise hab ich ausgerechnet
$\begin{eqnarray*} <br /> x_1=0<br /> \\x_2=\frac{2}{3}<br /> \\x_3=\frac{22}{27}=\frac{2}{3}*\frac{11}{9}<br /> \\x_4=\frac{2}{3}*\frac{3 * 971}{13^3}<br /> \\x_5=\frac{2}{3}*\frac{3*2237497}{13^6} <br /> \end{eqnarray*}$

Ich versuchte eine Formel zu konstruieren mit der ich gleich jedes x sofort berechnen kann jedoch gelingt es mir nicht.

Eine weitere Vermutung: Die $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 971 \end{eqnarray*}$ ähnelt auch leicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

10.10.2012, 18:42

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry.
Ich hab es versehentlich zwei mal gepostet. bitte einmal löschen

10.10.2012, 18:44

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst gar nicht die explizite Formel finden.

In ii) steht nicht umsonst, dass man den möglichen Grenzwert berechnen soll.

Es gibt dafür bei solch rekursiv gegebenen Folgen eine einfache Methode. Kennst du die nicht?

10.10.2012, 18:49

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion aus Rekursion

Zitat:

Original von Triz
Eine weitere Vermutung: Die $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 971 \end{eqnarray*}$ ähnelt auch leicht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Ja, es ist schon lange bekannt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 10 \end{eqnarray*}$ eine mehr oder weniger gute Näherung für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist, aber was hat das mit der Aufgabe zu tun? verwirrt

verwirrt

10.10.2012, 19:25

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo: ich höre das von dieser Formel hier zum ersten mal. Ich hab das sonst immer mit der expliziten Formel gelöst. Aber wenn du mir die andere Formel sagst wär ich dir auch überaus dankbar smile

smile

10.10.2012, 19:31

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir versuchen uns das mal zu überlegen.

Wenn $\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist (vorrausgesetzt er existiert, was wir noch gar nicht wissen, aber daher steht ja das Wort "möglich" in der Aufgabe), so gilt ja:

$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Anzeige

10.10.2012, 22:56

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das kling tirgendwie einleuchtent danke tmo Big Laugh

Big Laugh

wenn ich ds dann richtig verstanden habe komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1}=\frac{\frac{x_n^2}{x_n^2}+\frac{2}{x_n^2}}{\frac{3}{x_n^2}}=1 \end{eqnarray*}$

aber ich brauch ja beim Beweis ob die Folge streng monoton wachsend ist sowieso die explizite Formel um es die Funktion dann ableiten zu können ?

Mfg

11.10.2012, 00:08

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es jetzt mal so versucht:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x_n^2 +2}{3}\textless \frac{(\frac{x_n^2}{3})^2+2}{3} \\<br /> x_n^2 \textless \frac{x_n^2+2}{3} \\<br /> 3 * x_n^2 \textless x_n^2 +2\\<br /> 3 \textless 1 + \frac{2}{x_n^2}\\<br /> 2 \textless \frac{2}{x_n^2}\\<br /> 1 \textless \frac{1}{x_n^2}\\<br /> x_n^2\textless1<br /> \end{eqnarray*}$

aber was soll das untere Ergebnis bedeuten ?
$\begin{eqnarray*} <br /> x_n^2 \textless 1<br /> \end{eqnarray*}$ ?
mit dem kann ich ja nichts anfangen :/

Bitte um Beistand.

11.10.2012, 00:19

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich glaub ich hab die Antwort smile

smile

in der zweiten Zeile hab ich das Quadrat übersehen
$\begin{eqnarray*} <br /> x_n \textless \frac{x_n^2 +2}{3} \\<br /> 3*x_n \textless x_n^2 +2<br /> \end{eqnarray*}$

Aber reicht die Antwort ?

MfG

11.10.2012, 08:53

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir zu den anderen 2 Posts kommen, erstmal die Frage:

Zitat:

Original von Triz

wenn ich ds dann richtig verstanden habe komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1}=\frac{\frac{x_n^2}{x_n^2}+\frac{2}{x_n^2}}{\frac{3}{x_n^2}}=1 \end{eqnarray*}$

Was hast du da gemacht? verwirrt

verwirrt

Ok, du hast die Rekursionsvorschrift $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Aber warum kürzt du dann alles durch $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ?

11.10.2012, 15:58

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es durch die höchste Potenz gekürzt damit ich den $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen kann?

sonst kommt ja $\begin{eqnarray*} \frac{\infty+2}{3} \end{eqnarray*}$ raus.

11.10.2012, 17:34

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du nimmst gerade fälschlicherweise $\begin{eqnarray*} x_n \to \infty \end{eqnarray*}$ an...

Eigentlich sollte das ca. so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n^2+2}{3} \end{eqnarray*}$ .

Nun verwende die Grenzwertsätze um den Ausdruck umzuformen.

14.10.2012, 17:46

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm. ok.
aber nach was sollte ich das umformen ?
ob ich das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder das $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lasse dürfte doch keinen Unterschied machen oder doch ?

14.10.2012, 18:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Triz
ob ich das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder das $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lasse dürfte doch keinen Unterschied machen oder doch ?

Es macht einen gewaltigen Unterschied, da das wirkliche $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ bei diesem Anfangswert $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt.

14.10.2012, 18:12

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Aber was ist den mit Grenzwertsatz gemeint ?

Ich verstehe unter einem Grenzwertsatz:

$\begin{eqnarray*} <br /> a = \lim_{a \to \infty} a_n \\<br /> b = \lim_{b \to \infty} b_n \\<br /> a + b = \lim_{a \to \infty} a_n + \lim_{b \to \infty} b_n\\<br /> a- b = \lim_{a \to \infty} a_n - \lim_{b \to \infty} b_n \\ <br /> a * b = \lim_{a \to \infty} a_n * \lim_{b \to \infty} b_n <br /> \end{eqnarray*}$

EDIT:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x_n^2+2}{3}+2}{3} <br /> \end{eqnarray*}$
wäre das einizige was mir zu dem einfallen könnte aber das ist ja kein Grenzwertsatz

14.10.2012, 18:57

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Da funktioniert ja garnichts da ich nur ein $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ habe

ich hab es schon in ein $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ umgeformt.
aber das bringt ja auch nichts.

$\begin{eqnarray*} x_{n} = \sqrt{\frac{x_{n+1} -3}{2}} \end{eqnarray*}$

das kann doch ohne eine explizite Formel nicht lösbar sein ?

14.10.2012, 19:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Triz
EDIT:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{x_n^2+2}{3}+2}{3} <br /> \end{eqnarray*}$
wäre das einizige was mir zu dem einfallen könnte aber das ist ja kein Grenzwertsatz

Möchte wissen, was manche Leute so für Knoten im Gehirn haben: Warum nur denkst du so furchtbar kompliziert, und wendest die Iteration "doppelt iteriert" an??? unglücklich

unglücklich

Ist es dir zu einfach, hier

Zitat:

Original von tmo
Eigentlich sollte das ca. so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n^2+2}{3} \end{eqnarray*}$ .

Nun verwende die Grenzwertsätze um den Ausdruck umzuformen.

einfach weiter zu machen:

$\begin{eqnarray*} x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n^2+2}{3} = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} x_n^2+2}{3} = \frac{\left( \lim\limits_{n \to \infty} x_n\right)^2+2}{3} = \frac{x^2+2}{3} \end{eqnarray*}$

14.10.2012, 20:38

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

nicht schlagen bitte ^^

ist es der Grenzwertsatz den du angewendet hast ? also auch bei den Konstanten ?

also so ?
$\begin{eqnarray*} <br /> x = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n * \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} 2}{\lim_{n \to \infty} 3}<br /> \end{eqnarray*}$

dann:
$\begin{eqnarray*} <br /> x^2 - 3x +2 = 0<br /> <br /> x = -\frac{-3}{2} \pm \sqrt{\frac{-3}{2}^2 - 2} \\<br /> x_1 = 1\\ x_2 = 2<br /> \end{eqnarray*}$

also ist der Grenzwert 1 ?

14.10.2012, 20:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Triz
ist es der Grenzwertsatz den du angewendet hast ? also auch bei den Konstanten ?

also so ?
$\begin{eqnarray*} <br /> x = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n * \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} 2}{\lim_{n \to \infty} 3}<br /> \end{eqnarray*}$

Ja, das könnte man als ausführliche Zwischenschritte auch noch anbringen.

Aber immer an den Start der Überlegungen denken: Diese Umformungen gelten nur unter der Prämisse, dass der Grenzwert der Folge auch tatsächlich interessiert. Dass dem wirklich so ist, muss anderweitig nachgewiesen werden (z.B. durch Monotonie+Beschränktheit).

14.10.2012, 21:09

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Danke Danke.
Hätte nicht gedacht das das so einfach geht.

Dafür gönn ich mir jetz mal einen Radler Prost

Prost

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »