Mengenlehre

10.10.2012, 19:44

zewa-softis

Mengenlehre

Hallo!
Und zwar ich soll zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind
i) $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} A \cup B = B \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$
iv) $\begin{eqnarray*} B^{c} \subseteq A^{c} \end{eqnarray*}$

ich finde es logisch was hier geschireben wird, nur weiß ich leider nicht wie ich das am besten formalisiere

habe alle def vor mir; und vor allem in welcher reihenfolge ist es am einfachsten?

vielen Dank im vorhinein

10.10.2012, 19:49

Gast11022013

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RE: Mengenlehre
Erstmal:

Gelte Aussage i). Zeige ii).

Dazu zeige $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cup B \end{eqnarray*}$ . Was heißt das?

10.10.2012, 20:01

zewa-softis

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RE: Mengenlehre
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \cup B \end{eqnarray*}$

d.h.
$\begin{eqnarray*} x \in A oder x \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ , da A Teilmenge von B

Sei $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$
da A Teilmenge von B folgt daraus das $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$

[latex] B = A \cup B [\latex]

ist das so richitg?

10.10.2012, 20:09

Gast11022013

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RE: Mengenlehre

Zitat:

Original von zewa-softis
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \cup B \end{eqnarray*}$

d.h.
$\begin{eqnarray*} x \in A oder x \in B \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ , da A Teilmenge von B

Ja, richtig. Fall 1: $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , dann wegen i) $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ .

Bei dem Rest steige ich nicht durch.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$

Aus beiden Fällen folgt also $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} A\cup B\subseteq B \end{eqnarray*}$ .

Die andere Inklusion ist trivial.

$\begin{eqnarray*} x\in B\Rightarrow x\in A\cup B \end{eqnarray*}$ .

Jetzt zeige die anderen Implikationen, also

ii) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ iii), iii) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ iv) und iv) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ i).

----

10.10.2012, 20:35

zewa-softis

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und zwar wenn ich von ii) -> iii) schließe
dann gilt ja dass x in A und x in B liegt
woher weiß ich jetzt dass x nur in A liegt?

meine voraussetzung sagt mir ja dass x in A oder x in B liegt = x in B

???

10.10.2012, 20:43

Gast11022013

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Wenn Du weißt, dass x in A und in B liegt, gilt doch insbesondere, dass x in A liegt.

Formal:

$\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in A \end{eqnarray*}$ .

Für die andere Inklusion benötigst Du nun die Voraussetzung ii).

$\begin{eqnarray*} x\in A\Rightarrow x\in A\cup B \end{eqnarray*}$

Was folgt dann wegen ii)?

10.10.2012, 20:53

zewa-softis

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das x auch in B liegt

und daher $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$

das nächste: es gelte iii)
z.z. iv)
$\begin{eqnarray*} B^{c} \end{eqnarray*}$ , d.h x liegt nicht in B.

kann ich dann sagen es liegt auch nicht in A und daher stimmt diese Teilmenge?

10.10.2012, 21:05

Gast11022013

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RE: Mengenlehre
Ich weiß nicht genau, was Du hier mit $\begin{eqnarray*} B^{C} \end{eqnarray*}$ meinst.

Ich kenne das so, wie es hier unter "Relatives Komplement" steht, aber in diesem Sinne müsste $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ gelten, damit $\begin{eqnarray*} B^{C} \end{eqnarray*}$ definiert ist. Diese Voraussetzung sehe ich hier nicht.

10.10.2012, 21:17

zewa-softis

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RE: Mengenlehre
st das Komplement von B bezüglich einer Menge X
und ich schätze dass A und B schon Teilmengen dieser Menge X sind

ansonsten schließe ich von iii) auf i)
denn wenn x in A liegt folgt daraus unter dass es auch in B liegt

und dann zeige ich noch die äquivalenz von i) und iv)
hier ist ich verstehe hier dann aber dass argument nicht da ich je eigentlich eine Negation habe

z.z $\begin{eqnarray*} B^{c} \subseteq A^{c} \end{eqnarray*}$ dh. x liegt nicht in B
daraus folgt dass x in A liegt laut i) gilt dann ja dass x in B liegt und daraus folgt dass x nicht in A liegt

die andere Richtung also von i) nach iv) würde ich analog machen,

nur stimmt das bzw darf ich das so sagen?

10.10.2012, 21:33

Gast11022013

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Wenn es so gemeint ist, daß $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ (steht das denn irgendwo?) und das absolute Komplement gemeint ist, dann würde es wohl gehen:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in B^{C}=X\setminus B \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\in X\wedge x\notin B \end{eqnarray*}$ .

Angenommen $\begin{eqnarray*} x\notin A^{C}=X\setminus A \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} x\in \left(A^{C}\right)^{C}=A \end{eqnarray*}$ , also nach iii) $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ , also insbesondere $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ .

Widerspruch

Aus iii) folgt aber auch i), das ist richtig.

10.10.2012, 21:36

zewa-softis

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bei der angabe steht es leider nirgendwo aber in VO wurde kein anderes komplement besprochen, daher gehe ich davon aus dass dieses gemeint ist.

Vielen vielen Dank!!!!! Gott

10.10.2012, 21:41

Gast11022013

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Kannst Du nochmal sauber aufschreiben, wie Du jetzt iv) nach i) zeigen würdest?

(Oder: Wie Du die Äquivalent von i) und iv) zeigen willst?)

10.10.2012, 21:56

zewa-softis

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Es gelte iv)
zu zeigen i)

Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x \in X und non ( x \in B ) \end{eqnarray*}$

Aus iv) folgt $\begin{eqnarray*} x \in A^{c} \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} x \in X und non (x \in A) \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$

ist das formal jetzt so korrekt?

und dann hätt ich noch ein Frage
wie kann ich die Äuqivalenz von

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B^{c} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A^{c} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B = {} \end{eqnarray*}$

ich bekomm das doch nicht alleine hin unglücklich

10.10.2012, 21:57

zewa-softis

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= leere Menge

10.10.2012, 22:02

Gast11022013

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Ich steige da ehrlich gesagt nicht so durch. Big Laugh

Eigentlich ist das sehr schnell gezeigt:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Angenommen $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\in B^{C} \end{eqnarray*}$ .

Also nach iv) $\begin{eqnarray*} x\in A^{C}=X\setminus A \end{eqnarray*}$ , also insbesondere $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ .

Widerspruch.

(Aber dies alles wirklich nur unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ . Wenn ihr das so behandelt habt (vielleicht unter dem Stichwort "absolutes Komplement"?), dann wird das wohl gemeint sein.)

-----

Edit: Zu Deiner anderen Frage:

(a) $\begin{eqnarray*} A\subseteq B^{C} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} B\subseteq A^{C} \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$

1. (a) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (b):

Sei $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ . Nimm' an, dass $\begin{eqnarray*} x\notin A^{C} \end{eqnarray*}$ und führe einen Widerspruch herbei.

2. (b) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (c):

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ . Das heißt (und kann das ein x erfüllen)?

3. (c) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (a):

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Nimm' an, dass $\begin{eqnarray*} x\notin B^{C} \end{eqnarray*}$ und führe einen Widerspruch herbei.

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