Ungleichung herleiten

10.10.2012, 20:32	klaus1111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung herleiten Folgende Aufgabenstellung treibt mich schon seit Stunden in den Wahnsinn: Thema, arith, harmonische, geometrische Mittel: Definition: x0 = p y0 = q $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{2x_{n}y_{n} }{x_{n} +y_{n} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{n+1} = \frac{x_{n} + y_{n} }{2} \end{eqnarray}$ Es ist für alle Indizes n $\begin{eqnarray} y_{n+1} - x_{n+1} = \frac{1}{2} (y_{n} -x_{n} )\frac{y_{n} - x_{n} }{y_{n} + x_{n}} \leq \frac{1}{2}(y_{n} -x_{n} ) \end{eqnarray}$ zu begründen und daraus $\begin{eqnarray} y_{n} - x_{n} \leq \frac{1}{2^{n} }(q-p ) \end{eqnarray}$ herzuleiten. Ersteres habe ich geschafft. Beim zweiten ergeben sich Schwierigkeiten, denn für x0 - y0 kann ich es herleiten und es stimmt auch, da kommt wirklich der letzte Term heraus, jedoch wenn ich versuche für n= 1 herzuleiten, dann stimmt das Ergebnis nicht wirklich und ich kann nicht daraus schließen, dass ich aus dem: $\begin{eqnarray} y_{n+1} - x_{n+1} = \frac{1}{2} (y_{n} -x_{n} )\frac{y_{n} - x_{n} }{y_{n} + x_{n}} \leq \frac{1}{2}(y_{n} -x_{n} ) \end{eqnarray}$ das hier machen kann: $\begin{eqnarray} y_{n} - x_{n} \leq \frac{1}{2^{n} }(q-p ) \end{eqnarray}$ Problem im Detail: Wenn ich umforme usw.. komme ich für n = 0 auf : $\begin{eqnarray} y_{1} - x_{1} \leq \frac{1}{2}(y_{0} - x_{0} ) \end{eqnarray}$ was auch vollkommen korrekt ist. Wenn ich jedoch für n = 1 einsetze komme ich nur fast auf das da: $\begin{eqnarray} y_{n} - x_{n} \leq \frac{1}{2^{n} }(q-p ) \end{eqnarray}$ und zwar habe ich dann: $\begin{eqnarray} y_{2} - x_{2} \leq \frac{1}{2^{2} }(y_{0} - x_{0} ) * \frac{q - p }{q+p} \end{eqnarray*}$ Und das Problem ist eben der letzte Faktor, der das ganze verkleinern kann, und deswegen darf ich ihn nicht einfach rausnehmen.

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