Subtraktion von Grenzwerten

10.10.2012, 22:12

Kris_

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Subtraktion von Grenzwerten

Zu berechnen war der Limes von $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}+n}{\sqrt{n^{2}+n} } -n \end{eqnarray*}$

Ich habe diesen Ausdruck auseinandergenommen und zunächst den Limes für den Bruch ausgerechnet, der ist meiner Rechnung nach 1. Aber was mache ich jetzt mit dem -n? Das strebt ja gegen unendlich, heißt das jetzt, mein Grenzwert ist 1 - unendlich? Ich kenn mich nicht aus!

Brauche dringend Hilfe! Danke!

10.10.2012, 22:16

Mystic

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Du sollest als erstes durch die Wurzel kürzen und dann sehen wir weiter...

10.10.2012, 22:25

Kris_

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden hab. Ich hab jetzt alles auf einen Nenner gebracht und vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}+n-\sqrt{n^{2}+n} }{\sqrt{n^{2}+n} } \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n} }{n+\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

bin ich auf dem richtigen Weg?

10.10.2012, 22:29

Mystic

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Hm, damit kann ich leider überhaupt nichts anfangen... unglücklich

unglücklich

Ich schreib dir den Term nochmals anders an, damit dir das Kürzen leichter fällt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^{2}+n}\sqrt{n^{2}+n}}{\sqrt{n^{2}+n} } -n \end{eqnarray*}$

10.10.2012, 22:42

Kris_

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Achso^^ Hammer

Hammer

ok... kann ich jetzt davon den Grenzwert berechnen?

das hätte ja dann die Form:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty b} n^{2} * \sqrt{1+\frac{1}{n}}-n \end{eqnarray*}$

= 0 ?

10.10.2012, 22:54

Gastt

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Nein, da stimmt nichts!

Mystic hat's doch extra suggestiv notiert!

Kürze doch erstmal, so dass nur die Wurzel im Zähler stehenbleibt und dann kann's in Ruhe weitergehen.

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10.10.2012, 22:56

Kris_

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
So.. da steht jetzt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}+n}-n \end{eqnarray*}$

und jetzt?

10.10.2012, 23:07

Gastt

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Schon besser.
Jetzt gibt es mindestens 2 Möglichkeiten.

1. gemäß 3.bin. Formel erweitern, anschließend kürzen und mittels Stetigkeit der Wurzel und Grenzwertsätzen folgern

2. Die Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel bemühen aus der dann letztendlich folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac 12\geq\sqrt{n^2+n}-n\geq\frac 1{2+\frac 1n} \end{eqnarray*}$

so dass mit dem Einschließngskriterium dann alles klar ist.

10.10.2012, 23:12

Kris_

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Danke für die Hilfe!

Werde mir das morgen noch einmal anschauen, heute arbeitet mein Kopf nicht mehr^^

Gute Nacht!

11.10.2012, 07:33

Stefan_TM

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Hallo Kris,

wenn du (n^2+n)^1/2 - n mit (n^2+n)^1/2 +n multiplizierst und dividierst nach dem
Regel:
a-b = (a-b)* (a+b) /(a+b) =(a^2-b^2)/ (a+b),
dann bekommst du ein sehr konfortablen Form, damit du direkt zum Ergebnis kommst

11.10.2012, 23:07

Kris_

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Hallo =)

Danke für den Hinweis!

Also wenn ich das richtig gemacht hab ( Erstaunt1

Erstaunt1

), dann kommt mir raus:

$\begin{eqnarray*} (n^{2} +n) - n * \sqrt{n^{2}+n} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{[ (n^{2}+n - n * \sqrt{n^{2}+n}] * [ (n^{2} + n)+ n* \sqrt{n^{2}+n}]}{n^{2}+n+n*\sqrt{n^{2}+n}} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac {(n^{2}+n)^{2}-n^{2}*(n^{2}+n)} {n^{2} + n + \sqrt {n^{2}+n}} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac {3n^{3} + n^{2}} {n^{2} +n + n * \sqrt {n^{2}+n}} \end{eqnarray*}$

an dieser Stelle würde ich den Limes berechnen... ich hoffe, das ist endlich richtig Tränen

Tränen

12.10.2012, 14:08

Stefan_TM

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Wenn du (n^2+n)^1/2 - n mit (n^2+n)^1/2 +n multiplizierst
und dividierst, d.h.:

$\begin{eqnarray*} <br /> \{frac{(\sqrt{n^{2} +n} -n)*<br /> (\sqrt{n^{2} +n}+n )}{(\sqrt{n^{2} +n}+n )} \<br /> \end{eqnarray*}$

12.10.2012, 14:12

Stefan_TM

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Sorry, ich habe Schwierigkeiten mit Latex.
Im Formeleditor sieht es gut aus, hier nicht mehr,
obwohl ich mein Text zwischen den latex-Anfang-Ende-Klammerung setze ?!

12.10.2012, 14:16

Stefan_TM

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Wenn du (n^2+n)^1/2 - n mit (n^2+n)^1/2 +n multiplizierst
und dividierst, d.h.:

((n^2+n)^1/2 - n)*((n^2+n)^1/2 +n))* / ((n^2+n)^1/2 +n)

Nicht vergessen ^1/2 bedeutet unter Wurzel zweiten Grades!

12.10.2012, 14:29

kgV

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@Stefan_TM

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n^{2} +n} -n)*(\sqrt{n^{2} +n}+n )}{(\sqrt{n^{2} +n}+n )} \end{eqnarray*}$

code:
1:	\frac{(\sqrt{n^{2} +n} -n)*(\sqrt{n^{2} +n}+n )}{(\sqrt{n^{2} +n}+n )}

richtig

code:
1:	\{frac{(\sqrt{n^{2} +n} -n)*(\sqrt{n^{2} +n}+n )}{(\sqrt{n^{2} +n}+n )}

falsch
Die Klammer zwischen Backslash und dem "frac"-Ausdruck ist falsch

Lg
kgV
Wink

Wink

12.10.2012, 14:39

Stefan_TM

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Aber jetzt korrigiere mich selbst (ein * zu viel vor dem /):

Wenn du (n^2+n)^1/2 - n mit (n^2+n)^1/2 +n multiplizierst
und dividierst, d.h.:

((n^2+n)^1/2 - n)*((n^2+n)^1/2 +n))* / ((n^2+n)^1/2 +n), ein * zu viel

((n^2+n)^1/2 - n)*((n^2+n)^1/2 +n)) / ((n^2+n)^1/2 +n), so richtig

Nicht vergessen ^1/2 bedeutet unter Wurzel zweiten Grades!

Jetzt sage ich weiter:
Benütze die Formel : (a^1/2-b)* (a^1/2+b)/(a^1/2+b) = (a-b^2)/(a^1/2+b)
wo a= (n^2+n)^1/2 und b = n

14.10.2012, 17:42

Kris_

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RE: Subtraktion von Grenzwerten
Danke smile

smile

ich glaub, ich komme dem Ganzen näher!

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