isomorphiesatz

11.10.2012, 11:07	unisolo	Auf diesen Beitrag antworten »
isomorphiesatz Meine Frage: Bestimmen Sie Z[x]/(2,x). Meine Ideen: Intuitiv würde ich sagen, dass das Ergebnis Z/2 gibt, da wir modulo x rechnen und somit alle x eliminiert werden. Um dies zu beweisen, wende ich den 1. isomorphiesatz an, d.h. falls f: R -> S ein Ringhomomorphismus ist, so ist R/kerf isomorph zu imf. Ich muss nun also zeigen, dass a)f ein Ringhomo ist und b) dass kerf=(2,x) ist. wie sieht nun aber die Abbildung f und wie muss ich dann weiter fahren? Vielen Dank für eure Tipps!
11.10.2012, 11:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Intuition ist auf jeden Fall schonmal richtig. Ich würde die Aussage versuchen elementar zu zeigen und zwar dadurch, dass du zeigst: Ist $\begin{eqnarray} p \in \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} p \in(2,x) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p-1 \in (2,x) \end{eqnarray}$ . Dies zeigt sofort, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X]/(2,x) \end{eqnarray}$ nur die Restklassen der 0 und der 1 (welche klarerweise verschieden sind) enthält, also isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z/(2) \end{eqnarray}$ ist. Es geht natürlich auch mit Hilfe einer Abb. und dem Isomorphiesatz: Da $\begin{eqnarray} \mathbb Z/(2) \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ -Algebra (Ringstruktur und Modulstruktur vertragen sich) ist, ist der Einsetzhomomorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \to \mathbb Z/(2) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} X \mapsto 0 \end{eqnarray}$ eindeutig und wohldefiniert. Man überzeugt sich davon, dass der Kern wie gewünscht ist.

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