Grenzwert einer Folge mit Wurzel bestimmen

11.10.2012, 11:22

Schoggo

Grenzwert einer Folge mit Wurzel bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich verzweifle seit Tagen an diesem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{n} +3^{n} } \end{eqnarray*}$ --> ich soll für diese Folge nun, wenn er existiert, den Grenzwert bestimmen!

Meine Ideen:
Ich weiß ja folgendes:
1.)die Wurzel aus n divergiert für n gegen unendlich, genau wie die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 2^{n} +3^{n} \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} 2^{n} +3^{n} \end{eqnarray*}$ ist auch bestimmt divergent für n gegen unendlich
3.) $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2^{n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 2 für alle n, weil sich die nte Wurzel und das hoch n aufheben

Was macht aber nun diese Folge??? Ich weiß echt nicht wie ich das lösen soll :S

Hilfe..

11.10.2012, 11:30

Nofeys

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es mit dem Sandwichtheorem nachdem du geeignete Abschätzungen gefunden hast.

11.10.2012, 12:00

Schoggo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt mal mit dem Einschließkriterium versucht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n} } \leq \sqrt[n]{2^{n} +3^{n} } \leq \sqrt[n]{2\cdot 3^{n} } \end{eqnarray*}$

ich weiß dass der Grenzwert des mittleren zwischen dem der seitlichen liegen muss. Also forme ich mal um:

$\begin{eqnarray*} 3^n^{\frac{1}{n} } \leq \left(2^{n} +3^{n}\right) ^{\frac{1}{n} } \leq 2^{\frac{1}{n} } \cdot 3^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

links gehts gegen 3, und rechts auch oder? da der grenzwert von 2 hoch 1/n gegen 2hoch 0 geht was ja 1 ist, und 1mal3 ist drei. Also gehen beide grenzwerte nach 3?

Mein gesuchter grenzwert ist also 3?

11.10.2012, 12:16

Schoggo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich aber noch eine Frage: Wie löst man dann dieses Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =n\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{n+1} } +\frac{1}{\sqrt{n} } \right) \end{eqnarray*}$

die beiden Folgen in der Klammer sind nullfolgen, n geht gegen unendlich. Wenn ich n reinmultipliziere hätte ich erst gedacht dass sowohl der erste Term als auch der zweite gegen unendlich gehen - aber dann hätte ich als Grenzwert unendlich-unendlich, also 0 - und das stimmt wohl nicht oder?

da der erste Term etwas langsamer gegen unendlich geht als der zweite - weiß nicht, kann man da was damit machen?

Ich bin bei diesem Thema echt noch absoluter Neuling...

11.10.2012, 12:18

Nofeys

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum genau hättest du dann unendlich - unendlich?

11.10.2012, 12:33

Schoggo

Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung, in der Klammer soll ein minus stehen Hammer

11.10.2012, 13:46

Gastt

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Brüche in der Klammer subtrahieren und den dann entstandenen Bruch gemäß 3. binomischer Formel erweitern, um die Wurzeln im Zähler zu beseitigen und dann steht's eigentlich schon da.

11.10.2012, 14:08

Gastt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Schoggo
Ich habs jetzt mal mit dem Einschließkriterium versucht:
...
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n} \leq \sqrt[n]{2^n + 3^n}\leq\sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{3^n} \end{eqnarray*}$
...
Mein gesuchter grenzwert ist also 3?

Wozu das Fragezeichen?
Ja der gesuchte Grenzwert ist 3.

Um das Ganze wasserdicht zu machen musst Du also entweder das Wissen um den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ investieren oder einfach weiter abschätzen mittels

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2}\leq 1+\frac 1n. \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Folge mit Wurzel bestimmen

Verwandte Themen