vollständige Induktion Ansatz

11.10.2012, 11:56

fräulein wunderlich

vollständige Induktion Ansatz

Meine Frage:
Hallo ich habe hier eine Ungleichung die ich mittels vollständiger Induktion beweisen soll. Der Verlauf ist mir klar, ich bekomme den Ansatz nur nicht hin.

BEweisen sie mit vollständiger Induktion für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ und für reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x_{j}\in \left(0,1\right) \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left(1-x_{2}\right)\left(1-x_{2} \right).....(1-x_{n})> 1- \left(x_{1}+....+x_{n}\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
muss ich hier zwei Induktionen zeigen? einmal für natürlich und einmal für reelle Zahlen?

11.10.2012, 12:01

Euler_e

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RE: vollständige Induktion Ansatz
Mach zuerst mal den Induktionsanfang. (n=2)
Ich glaube dein erster Parameter war falsch.

eigt.

$\begin{eqnarray*} (1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)>1-(x_1+...+x_n) \end{eqnarray*}$

vllt. hilft dir auch folgende Form.

$\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^n (1-x_j)>1- \sum_{j=1}^n x_j \end{eqnarray*}$

11.10.2012, 12:10

tmo

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RE: vollständige Induktion Ansatz

Zitat:

Original von fräulein wunderlich

Meine Ideen:
muss ich hier zwei Induktionen zeigen? einmal für natürlich und einmal für reelle Zahlen?

Was ist bitte eine Induktion über die reellen Zahlen? Die Induktion läuft hier natürlich über n.

Noch eine kurze Anmerkung (Dann bin ich wieder raus, wenn Euler_e weitermacht):

So wie die Aufgabe gestellt wurde (mit dem Startwert n=2, anstatt dem Startwert n=1 und einer Korrektur des Größerzeichens durch Größergleich), ist der Induktionsanfang übrigens schon von genau der selben Qualität wie der Induktionsschritt.

11.10.2012, 12:27

Fräulein Wunderlich

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RE: vollständige Induktion Ansatz
Oh Danke, für den Anstoß. Dieses umschreiben mittels Summen- und Produktform muss ich echt verinnerlichen, sonst wird das Studium wohl ganz schön kompliziert

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