Gleichheit von Mengen

11.10.2012, 12:35	Andi777	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Mengen Meine Frage: Hallo leute ich soll folgende Gleichheit bzw. Äquivalenz zeigen/beweisen: $\begin{eqnarray} M = N \Leftrightarrow M \cup N = M \cap N \end{eqnarray}$ Grundsätzlich habe ich das Thema Mengen theoretisch durchblickt. Ich habe aber keine Ahnung, wie man in diesem Zusammenhang Beweise durchführt. Meine Ideen: Hier ist mein Ansatz: $\begin{eqnarray} [(x \in M) \Rightarrow (x \in N) \wedge (x \in N) \Rightarrow (x \in M)] \Leftrightarrow [(x \in (M \cup N)) \Rightarrow (x \in (M \cap N)) \wedge (x \in (M \cap N) \Rightarrow (x \in (M \cup N))] \end{eqnarray}$ Ist das hiermit schon bewiesen? Oder muss ich alle Mengenoperationen durch die Symbolik der Aussagenlogik tauschen? Wenn es nicht vollständig ist - was muss noch zeigen? Vielen Dank für eure Hilfe!
11.10.2012, 12:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematik ist kein Wettbewerb darin einen Beweis ohne Worte zu formulieren. Wenn doch wäre übrigens $\begin{eqnarray} M \subset M \cup N = M \cap N \subset N \subset M \cup N = M \cap N \subset M \end{eqnarray}$ der Gewinner Jetzt mal im Ernst: Man sollte sich erstmal klarmachen, dass 2 Richtungen zu zeigen sind. Also zeigt man beide Richtung einzeln. Die Hinrichtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ist deutlich einfacher, also solltest du mal mit der hier anfangen.
11.10.2012, 12:57	Andi777	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M = N \Leftrightarrow x \in M \wedge x \in N \end{eqnarray}$ Für alle x gilt.... Soll ich jetzt also zeigen, dass eben diese Aussage auch für die rechte seite der Aussage gilt? Wie soll ich denn noch weiter umformen auf der linken Seite? Danke für deine Antwort!

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