Taylorpolynom unter Benützung der Taylorreihe

11.10.2012, 16:22	Euler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom unter Benützung der Taylorreihe Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} f(x) = e^{3x}sin(2x) \end{eqnarray}$ . Das Taylerpolynom vom Grad $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bei Entwicklung um $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ unter Benutzung der Taylorreihen von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} sin(x) \end{eqnarray}$ ist zu berrechnen. Dann noch den Wert aus dem Taylorpolynom $\begin{eqnarray} f^{(4)}(0) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich hab mir jezt die Arbeit angetan und bin nach der Formel $\begin{eqnarray} f(x_o)+f^{(1)}(x)+f^{(2)}\frac{(x)^2}{2!}+f^{(3)}\frac{(x)^3}{3!}+f^{(4)}\frac{(x)^4}{4!}+f^{(5)}\frac{(x)^5}{5!} \end{eqnarray}$ vorgegangen das heißt ich hab alle Ableitungen von $\begin{eqnarray} f(x) = e^{3x}sin(2x) \end{eqnarray}$ gebildet. Da das ein Mordsaufwand war will ich nun wissen ob das auch irgendwie anders geht ? es steht ja nach Benutzung der Taylorreihen von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} sin(x) \end{eqnarray}$ .
11.10.2012, 16:47	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom unter Benützung der Taylorreihe Hi, die Taylorreihe für $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ lautet ja $\begin{eqnarray} e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ Also für $\begin{eqnarray} e^{3x} \end{eqnarray}$ erhalten wir dann, $\begin{eqnarray} e^{3x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(3x)^k}{k!} \end{eqnarray}$ Nun fehlt noch die Definition des Sinus über die Taylorreihe. Wenn du die Darstellung herausgefunden hast, kannst du die Reihen miteinander multiplizieren. Schau mal hier: Cauchy-Produktformel
14.10.2012, 21:04	Euler23	Auf diesen Beitrag antworten »
ach du heilige.... was ist das denn ? wenn ich das richtig verstanden habe komme ich auf $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{(2k+1)! (n-k)!}(2x)^{2k+1} (3x)^{n-k}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ Bin ich der einzige der findet das es nicht so trivial ist ? Mir kommt vor wenn man die Taylorpolynome einzeln berechnet ist man schneller ? MfG
14.10.2012, 21:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, wenn ich hier mal einmische, aber ich kann den Threadersteller etwas beruhigen: Das Cauchy-Produkt für Reihen ist hier gar nicht nötig. Du kannst die Reihe der Exponentialfunktion beim Summanden mit $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ abbrechen und die Reihe der Sinusfunktion beim Summanden mit $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ abbrechen. Dann kannst du ganz normal ausmultiplizieren. Jedoch solltest du dir dann noch Gedanken darüber machen, warum du Summanden höherer Ordnung nicht beachten musst.
15.10.2012, 18:19	Euler23	Auf diesen Beitrag antworten »
Was was was ? ich soll die Taylorreihe bei $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^5 \end{eqnarray}$ abbrechen ? Du meinst ich soll die Taylorreihen von $\begin{eqnarray} e^x , sin(x) \end{eqnarray}$ und nicht von $\begin{eqnarray} e^{3x}, sin(2x) \end{eqnarray}$ berechnen also: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x^n}{n!}, n=4<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},n=5<br /> <br /> \end{eqnarray}$ aber wie soll das funktionieren ?? $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ist doch ganz was anderes wie $\begin{eqnarray} e^{3x} \end{eqnarray*}$ oder muss ich dan irgendwie die zahl 3 und die zahl 2 "reinsubstituieren" ?

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