Beweise für Aussagen über Mengen

11.10.2012, 16:50

stish

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Beweise für Aussagen über Mengen

Hallo,

ich habe hier zwei Aussagen zu beweisen, bin aber ehrlichgesagt ziemlich planlos und versuche irgendwie das Schema anzuwenden, mit der wir in der Vorlesung ein Beispiel gemacht haben.
Kann mir jemand sagen ob das irgendwie richtig ist, was ich da veranstalte?

1. Gilt $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A) \cup P(B) \end{eqnarray*}$ ?

=>
$\begin{eqnarray*} z.z. P(A \cup B) \subseteq P(A) \cup P(B)<br /> <br /> C \in P(A \cup B)<br /> C \subseteq A \wedge C \subseteq B<br /> C \in P(A) \wedge C \in P(B)<br /> P(A \cup B) \subseteq P(A) \wedge P(B) \end{eqnarray*}$

<=
$\begin{eqnarray*} z.z. P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B)<br /> <br /> C \in P(A) \wedge C \in P(B)<br /> C \subseteq A \wedge C \subseteq B<br /> C \in P(A \cup B)<br /> P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B) \end{eqnarray*}$

2. Gilt $\begin{eqnarray*} P(A \setminus B) = P(A) \setminus P(B) \end{eqnarray*}$ ?

=>
$\begin{eqnarray*} z.z. P(A \setminus B) \subseteq P(A) \setminus P(B)<br /> <br /> C \in P(A \setminus B)<br /> C \subseteq (A \setminus B)<br /> C \in P(A)<br /> P(A \setminus B) \subseteq P(A) \setminus P(B) \end{eqnarray*}$

<=
$\begin{eqnarray*} z.z. P(A) \setminus P(B) \subseteq P(A \setminus B)<br /> <br /> C \in (P(A) \setminus P(B))<br /> C \subseteq A<br /> C \in P(A)<br /> P(A) \setminus P(B) \subseteq P(A \setminus B) \end{eqnarray*}$

11.10.2012, 17:03

Che Netzer

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RE: Beweise für Aussagen über Mengen
Hallo,

Zitat:

Original von stish
$\begin{eqnarray*} C \in P(A \cup B)<br /> C \subseteq A \wedge C \subseteq B \end{eqnarray*}$

Hier liegt ein Fehler. Es müsste $\begin{eqnarray*} C\subseteq(A\cup B) \end{eqnarray*}$ sein. Daraus folgt nicht, dass $\begin{eqnarray*} C\subseteq A \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} C\subseteq B \end{eqnarray*}$ .

Die Inklusion $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B)\subset P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ stimmt aber. [Edit: Siehe Hal]
Dein Beweis ist allerdings lückenhaft.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C \in P(A)<br /> P(A \setminus B) \subseteq P(A) \setminus P(B) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Du müsstest noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C\notin P(B) \end{eqnarray*}$ . (Diese Inklusion stimmt aber eh nicht)

Die andere Inklusion stimmt wieder, aber auch hier müsstest du deinen Beweis etwas sorgfältiger formulieren.
Benutze dabei auch ganze Sätze und reihe nicht nur zusammenhangslos Formeln aneinander.

Für $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\subseteq P(A)\cup P(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\setminus B)\subseteq P(A)\setminus P(B) \end{eqnarray*}$ suche jeweils ein Gegenbeispiel.

mfg,
Ché Netzer

11.10.2012, 17:43

HAL 9000

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Schreibfehler

Zitat:

Original von Che Netzer
Die Inklusion $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B)\subset P(A)\cup P(B) \end{eqnarray*}$ stimmt aber.

Selbstredend. Big Laugh

Big Laugh

Anzunehmen, dass du hier $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B)\subset P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ gemeint hast.

11.10.2012, 17:49

Che Netzer

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RE: Schreibfehler
Ja, klar, korrigiere ich gleich smile

smile

11.10.2012, 18:03

stish

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RE: Beweise für Aussagen über Mengen
Vielen Dank schonmal.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von stish
$\begin{eqnarray*} C \in P(A \cup B)<br /> C \subseteq A \wedge C \subseteq B \end{eqnarray*}$

Hier liegt ein Fehler. Es müsste $\begin{eqnarray*} C\subseteq(A\cup B) \end{eqnarray*}$ sein. Daraus folgt nicht, dass $\begin{eqnarray*} C\subseteq A \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} C\subseteq B \end{eqnarray*}$ .

Also
$\begin{eqnarray*} C\subseteq(A\cup B) \end{eqnarray*}$ , draus folgt
$\begin{eqnarray*} C \in P(A) oder C \in P(B) \end{eqnarray*}$
?

Bei der zweiten verstehe ich nicht ganz, die ganze Aussage stimmt nicht? Das heißt ich muss sie also wiederlegen, indem ich jeweils ein Gegenbeispiel finde, oder wie meinst du das?

11.10.2012, 18:09

Che Netzer

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RE: Beweise für Aussagen über Mengen
Nein, diese Folgerung stimmt auch nicht.
Ich glaube, du verwechselst das hiermit:
$\begin{eqnarray*} x\in(A\cup B)\Leftrightarrow x\in A\ \text{oder}\ x\in B\,. \end{eqnarray*}$
Es kann aber Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ geben, die weder in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ noch in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthalten sind. Suche ein Beispiel hierfür, um die Aussage zu widerlegen.

Nochmal zur Übersicht:
$\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B)\subseteq P(A\cup B)\,, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A)\setminus P(B)\subseteq P(A\setminus B)\,. \end{eqnarray*}$
ABER (im allgemeinen)
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\not\subseteq P(A)\cup P(B)\,, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A\setminus B)\not\subseteq P(A)\setminus P(B)\,. \end{eqnarray*}$

Für die beiden letzteren Aussagen kannst du also einfach ein Gegenbeispiel angeben.

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11.10.2012, 18:52

stish

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RE: Beweise für Aussagen über Mengen

Zitat:

Original von Che Netzer
Nein, diese Folgerung stimmt auch nicht.
Ich glaube, du verwechselst das hiermit:
$\begin{eqnarray*} x\in(A\cup B)\Leftrightarrow x\in A\ \text{oder}\ x\in B\,. \end{eqnarray*}$
Es kann aber Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ geben, die weder in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ noch in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthalten sind. Suche ein Beispiel hierfür, um die Aussage zu widerlegen.

Stimmt, das habe ich verwechselt.
jetzt bin ich aber total verwirrt, wie kann etwas eine Teilmenge sein, wenn es gar nicht in der Menge enthalten ist?
Edit: Ach oder meinst du die leere Menge?

11.10.2012, 19:24

Che Netzer

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RE: Beweise für Aussagen über Mengen
Nein, die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
Wähle z.B. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ disjunkt (und jeweils nichtleer). Findest du dann eine Menge, die Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ , aber nicht von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist?

11.10.2012, 20:01

stish

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Ok, also...
Das heißt dann, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} C \subseteq A \wedge C keine Teilmenge von B \end{eqnarray*}$ bzw. Teilmenge $\begin{eqnarray*} C \subseteq B \wedge C keine Teilmenge von A ? \end{eqnarray*}$ , weil dann wäre ja $\begin{eqnarray*} C \subseteq (A \cup B) \end{eqnarray*}$
Oder meinst du wieder was anderes?

11.10.2012, 21:07

Che Netzer

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Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, was du meinst.
Nimm dir zwei disjunkte (nichtleere) Mengen. Such dir diese so einfach wie möglich aus.
Jetzt finde eine Teilmenge deren Vereinigung, die nicht Teilmenge einer der einzelnen Mengen ist.

Gib doch also zunächst einmal zwei möglichst simple disjunkte Mengen an.

11.10.2012, 21:54

stish

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Tut mir leid, aber ich versteh nicht, wie das gehen soll.

Aber ok, unter disjunkte Mengen verstehe ich jetz soetwas:
$\begin{eqnarray*} <br /> M = \{1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N = \{2\}<br /> \end{eqnarray*}$

11.10.2012, 22:01

Che Netzer

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Genau.
Damit hast du jetzt zwei disjunkte Mengen.
Im nächsten Schritt bilde $\begin{eqnarray*} M\cup N \end{eqnarray*}$ .

11.10.2012, 22:43

stish

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$\begin{eqnarray*} M \cup N= \{1;2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(M \cup N) = \{ \emptyset;\{1\};\{2\};\{\{1;2\}\}\} \end{eqnarray*}$

Soweit, so richtig?

11.10.2012, 22:46

Che Netzer

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Fast, in der Potenzmenge ist nur ein Klammerpaar zu viel um $\begin{eqnarray*} \{1,2\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hast du also die Teilmengen $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \{2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,2\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M\cup N \end{eqnarray*}$ . Welche davon ist weder Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ allein noch von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ?

11.10.2012, 22:58

stish

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$\begin{eqnarray*} \{1;2\} \end{eqnarray*}$ ?

11.10.2012, 23:05

Che Netzer

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Genau.
Es ist $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\in P(M\cup N) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\notin P(M) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\notin P(N) \end{eqnarray*}$ , also kann im allgemeinen nicht $\begin{eqnarray*} P(M\cup N)\subset P(M)\cup P(N) \end{eqnarray*}$ gelten.

Für die Differenzen kannst du jetzt auch ein Gegenbeispiel suchen, d.h. dafür, dass
$\begin{eqnarray*} P(A\setminus B)\subseteq P(A)\setminus P(B) \end{eqnarray*}$
nicht gelten muss.

12.10.2012, 15:50

stish

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Ok ich hab das jetzt nochmal versucht:
$\begin{eqnarray*} Gilt P(A \cup B) = P(A) \cup P(B) ?<br /> z.z. P(A \cup B) \subseteq P(A) \cup P(B)<br /> Sei A:=\{1\} und B:=\{2\}<br /> \rightarrow A \cup B=\{1;2\}<br /> \rightarrow P(A)= \{ \emptyset; \{1 \} \} P(B)= \{ \emptyset; \{2 \} \}<br /> \rightarrow P(A \cup B)= \{ \emptyset;\{1 \}; \{2 \} ;\{1;2 \} \}<br /> \rightarrow P(A) \cup P(B) = \{ \emptyset; \{1 \}; \{2 \} \}<br /> \rightarrow P(A \cup B) \not\subseteq P(A) \cup P(B)<br /> \end{eqnarray*}$

12.10.2012, 15:51

Che Netzer

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Wenn du die letzte Zeile noch erklärst, z.B. durch Bilden von $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B) \end{eqnarray*}$ stimmt das; damit hast du gezeigt, dass im Allgemeinen diese beiden Mengen nicht gleich sind.

12.10.2012, 15:55

stish

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Ich hab da noch was reineditiert.
Und vielen Dank für deine Hilfe.

12.10.2012, 15:57

Che Netzer

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Ja, das sieht schon besser aus.
Jetzt müsstest du das ganze nur noch ausformulieren; bisher sind es ja nur zusammenhanglos aufgeschriebene Formeln.

12.10.2012, 17:03

stish

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Ok, das werde ich wohl schaffen.
Eine Frage habe ich noch, wenn ich das ganze jetzt für die andere Richtung machen, also $\begin{eqnarray*} P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B) \end{eqnarray*}$ , müsste dann als Ergebnis auch $\begin{eqnarray*} P(A) \cup P(B) \not\subseteq P(A \cup B) \end{eqnarray*}$ stehen, oder ist es möglich, dass die Aussage für die andere Richtung gilt?

12.10.2012, 17:05

Che Netzer

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Die andere Inklusion, also $\begin{eqnarray*} P(A)\cup P(B)\subseteq P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ , stimmt immer.

12.10.2012, 18:06

stish

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Ok, dann nochmal Danke für deine Hilfe!

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