Vektoren in R² - Fußpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen

11.10.2012, 16:55

Rimy

Vektoren in R² - Fußpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen

Meine Frage:
Hallo allerseits!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter und wäre froh wenn ihr mir helfen könntet:
Der Punkt C (10|11) ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dessen Basis AB auf der Gerade x+2y=-13 liegt. Die Länge der Basis macht 2/3 der Länge der Höhe auf die Basis aus. Berechne den Schwerpunkt S!

Meine Ideen:
Zuerst habe ich den Normalvektor von AB bestimmt und den dann mit AB geschnitten um den Mittelpunkt M von AB zu bekommen. M beträgt(1|-7) und, wenn ich meine Skizze richtig gezeichnet habe, dann ist das so weit auch noch richtig.
Das Problem liegt aber darin, dass ich nicht weiß, wie ich weiterrechnen könnte. Ich habe versucht den Abstand von A und B zu M zu ermitteln und habe dazu 2/3 |CM| = |AB| verwendet, weil ich mit dem Abstand den Einheitsvektor zur Ermittlung der beiden Punkte verwenden könnte. Aber ich weiß ja nicht wie ich den Abstand bekomme.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Großes Dankeschön im Vorraus!
Rimy

11.10.2012, 17:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

In einem gleichschenkligen Dreieck stimmen Höhe und Seitenhalbierende der Basis überein. Da du den Höhenfußpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ bereits gefunden hast, kannst du den Schwerpunkt direkt ermitteln: Er liegt auf der Strecke von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ am Ende des ersten Drittels (Satz über die Seitenhalbierenden eines Dreiecks). Die restlichen Angaben sind, soweit es um die Ermittlung des Schwerpunkts geht, schlicht überflüssig.

11.10.2012, 18:01

Rimy

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die rasche Antwort, Leopold! Also, das haben wir eigentlich gar nicht gelernt, dass der Schwerpuinkt am Ende des ersten Drittels von MC liegt. Gäbe es denn keine Möglichkeit - wenn auch umständlicher - die Eckpunkte zuerst zu berechnen?
Meine Frage zum Schwerpunkt wäre ja eigentlich geklärt, aber ich frage nur noch einmal nach falls eine ähnliche Aufgabe zur Klassenarbeit kommt, nur dass dann die Eckpunkte gefragt sind und ich nicht weiterweiß.
Rimy

11.10.2012, 18:23

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du es ohne vektorrechnung machen willst und umständlich Augenzwinkern

schneide den kreis mit radius 0.5c um den lotfußpunkt L mit g, das ergibt die punkte A und B.

anschließend legst du eine gerade durch A und die seitenmitte von BC und schneidest sie mit der geraden durch CL.
damit hast du wiederum S Augenzwinkern

edit: radius korrigiert

12.10.2012, 07:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
wenn du es ohne vektorrechnung machen willst und umständlich Augenzwinkern

schneide den kreis mit radius c um den lotfußpunkt L mit g, das ergibt die punkte A und B.

Es soll wohl $\begin{eqnarray*} \frac{c}{2} \end{eqnarray*}$ heißen. Augenzwinkern

Ich würde den Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MC} = \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ um 90° drehen und richtig gestreckt an $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ anhängen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} -18 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So bekommt man $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sofort.

12.10.2012, 08:56

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich darf es oben korrigieren

12.10.2012, 15:44

Rimy

Auf diesen Beitrag antworten »

@riwe
Wow, auf den Weg muss man auch erstmal kommen. Na ja, ich glaube der ist wohl etwas zu umständlich für meine Zwecke, aber trotzdem Danke. Augenzwinkern

@Leopold
Danke, jetzt ist alles klar und die Eckpunkte stimmen endlich.

Rimy

Neue Frage »

Antworten »

Vektoren in R² - Fußpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen

Verwandte Themen