Betragsungleichung [war: Analysis-Aufgabe]

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11.10.2012, 18:20	Nadine1111	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung [war: Analysis-Aufgabe] Meine Frage: Hallo, ich komme nicht auf den Ansatz folgender Aufgabe: Bestimmen Sie alle x $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit \|x+2\| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 2 + \|x-\|x\|\| Wie kann ich das berechnen ? Meine Ideen: Ich hab's erst einfach mal mit Einsetzen versucht, mit der Hoffnung im nachhinein auf den Ansatz zu kommen, leider hat es nicht geklappt. Hab einfach mal die 1 eingesetzt: \|1+2\| $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 2 + \|1-\|1\|\| dann steht da; 3 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 2 ----> also ist 1 falsch. Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran? Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte. Vielen Dank im Voraus ! LG Nadine
11.10.2012, 18:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dringende Hilfe bei einer Analysis-Aufgabe benötigt ! Hallo, hast Du Lust, Dir erstmal diese Seite anzusehen, einfach um mal mit ein paar einführenden Betragsungleichungen zu arbeiten?
11.10.2012, 18:41	Nadine1111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss also eine Fallunterscheidung durchführen, stimmt's ?
11.10.2012, 18:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dringende Hilfe bei einer Analysis-Aufgabe benötigt ! Genau! Wenn Dir das Prinzip nicht so klar ist, ist dieses Video sehr hilfreich, denke ich. Fang' einfach mal an.
11.10.2012, 18:45	Nadine1111	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dringende Hilfe bei einer Analysis-Aufgabe benötigt ! Super, das ist echt nett von Dir, danke !
11.10.2012, 19:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast Du Dir ja gleich zu Anfang eine ganz schön umfangreiche Aufgabe ausgesucht. Da muss man schon eine ganze Menge Fallunterscheidungen machen! Am Ende kommt man aber auf ein "schönes" Ergebnis, wie ich finde. Hast Du schon was heraus? (Wenn ja, können wir ja mal vergleichen.)
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13.10.2012, 11:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich mit keiner Antwort mehr rechne, den Thread aber nicht unvollendet lassen möchte, sage ich einfach mal die Lösungsmenge: $\begin{eqnarray} \mathbb{L}=\left\{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\right\} \end{eqnarray}$
13.10.2012, 18:30	Nadine1111	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ! Danke erst mal für die Antwort! Konnte leider wieder erst jetzt reinschauen... Du hast Recht, man muss sehr viele Fallunterscheidungen machen... Ich hab aber ein anderes Ergebnis raus, von dem ich mir sicher bin, dass es falsch ist. Noch eine Frage wäre zu dem Teil \|x-\|x\|\|. Ist es egal, für welchen Betrag man die Fallunterscheidung zu erst durchführt ? Da ist ja ein Betrag "im" Betrag. Auch wenn Du die Lösung schon angegeben hast, möchte ich das auch verstehen können.
14.10.2012, 13:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte egal sein, ob Du zuerst für den "äußeren" Betrag eine Fallunterscheidung machst oder für den "inneren" Betrag. Ich persönlich habe zuerst für den äußeren Betrag Fallunterscheidungen betrachtet. Ich zeige Dir mal mein Vorgehen, ich hoffe, dass Dir das eine Hilfe ist. Ich habe zunächst den Betrag auf der linken Ungleichungsseite betrachtet. Dann ergeben sich hierfür schonmal zwei Gleichungssysteme: 1. $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2+\lvert x-\lvert x\rvert\rvert \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2+\lvert x-\lvert x\rvert\rvert \end{eqnarray}$ Hier sind nun jeweils wieder zwei Fallunterscheidungen zu machen: 1.1 $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-\lvert x\rvert\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2+x-\lvert x\rvert \end{eqnarray}$ 1.2 $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-\lvert x\rvert <0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2-(x-\lvert x\rvert ) \end{eqnarray}$ 2.1 $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-\lvert x\rvert\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2+x-\lvert x\rvert \end{eqnarray}$ 2.2 $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-\lvert x\rvert<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2-(x-\lvert x\rvert ) \end{eqnarray}$ Jetzt folgen weitere Fallunterscheidungen zu 1.1, 1.2, 2.1 und 2.2. 1.1.1 $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2+x-x \end{eqnarray}$ 1.1.2 $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-(-x)\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2+x-(-x) \end{eqnarray}$ 1.2.1 $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2-(x-x) \end{eqnarray}$ 1.2.2 $\begin{eqnarray} x+2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-(-x)<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+2\leq 2-(x-(-x)) \end{eqnarray}$ 2.1.1 $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2+x-x \end{eqnarray}$ 2.1.2 $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-(-x)\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2+x-(-x) \end{eqnarray}$ 2.2.1 $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2-(x-x) \end{eqnarray}$ 2.2.2 $\begin{eqnarray} x+2<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-(-x)<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -(x+2)\leq 2-(x-(-x)) \end{eqnarray}$ Wenn man diese Gleichungssysteme nun noch vereinfacht (Achtung: Die Relationszeichen können sich evtl. umdrehen, wenn man durch eine negative Zahl dividiert!) kommt man auf 1.1.1 $\begin{eqnarray} x\geq -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) 1.1.2 $\begin{eqnarray} x\geq -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) 1.2.1 $\begin{eqnarray} x\geq -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) 1.2.2 $\begin{eqnarray} x\geq -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) 2.1.1 $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq -4 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) 2.1.2 $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq -4/3 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) 2.2.1 $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\geq -4 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) und schließlich 2.2.2 $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\leq 4 \end{eqnarray}$ (Was ist hier die Lösungsmenge? ~Gibt es eine?) Die Gesamtlösungsmenge ist dann die Vereinigung der einzelnen Lösungsmengen und sie lautet, wie ich ja schn verraten habe $\begin{eqnarray} \mathbb{L}=\left\{x\in\mathbb{R} : x\leq 0\right\} \end{eqnarray}$ Du hast Dir da ja wirklich für den Anfang eine ganz schöne Aufgabe rausgesucht. Aber der Sprung ins kalte Wasser ist ja oft der richtige Weg. Im Grunde sind es ja nur lauter Fallunterscheidungen. Viele Grüße und einen schönen Sonntag! Dennis
14.10.2012, 14:38	Nadine1111	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, Du hast das echt super erklärt, Danke ! Ich bin genau so vorgegangen nur hatte ich als Lösungsmenge nicht x<0, sondern x<-2 geschrieben. Ich bedanke mich noch mal ganz herzlich, Du hast mir echt weitergeholfen Liebe Grüße und einen schönen Tag noch !
14.10.2012, 15:17	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber extrem umständlich Für x>0 steht dort \|x+2\|=x+2<= 2 Ein Widerspruch. Für x<=0 ist \|2+x\|<=2+\|x\|<=2+2\|x\|= 2+\|x-\|x\|\| Also die Ungleichung wahr.
14.10.2012, 15:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man braucht das nicht so stur durchzurechnen. Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x - \|x\| = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\| x + 2 \right\| = x + 2 \end{eqnarray}$ . Damit reduziert sich die Ungleichung auf $\begin{eqnarray} x + 2 \leq 2 \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ offenbar unerfüllbar ist. Lösungen kann es also höchstens für $\begin{eqnarray} x \leq 0 \end{eqnarray}$ geben. Jetzt ist $\begin{eqnarray} x - \|x\| = 2x \end{eqnarray}$ , so daß man $\begin{eqnarray} \left\| x + 2 \right\| \leq 2 + 2 \left\| x \right\| \end{eqnarray}$ zu lösen hat. Das gilt aber offenbar immer, denn $\begin{eqnarray} \left\| x + 2 \right\| \leq 2 + \|x\| \leq 2 + 2 \|x\| \end{eqnarray}$ Beim ersten Kleinergleich-Zeichen wurde die Dreiecksungleichung verwendet. Lösungen sind daher genau die negativen Zahlen und Null. EDIT @ Ungewiss Da hatten wohl zwei dieselbe Idee ...
14.10.2012, 15:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, dass das ziemlich umständlich war. Aber ich finde, wenn man gerade neu mit diesen Dingen anfängt, kann man das doch ruhig mal sehen. Edit: Oder es verwirrt einen vollends.
14.10.2012, 15:39	Nadine1111	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten, aber darauf wäre ich nie gekommen und kann auch immer noch nichts damit anfangen. Ich bleib erst mal bei der "umständlichen" Weise...

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